%% LyX 2.3.5.2 created this file.  For more info, see http://www.lyx.org/.
%% Do not edit unless you really know what you are doing.
\documentclass[french]{report}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{fontspec}
\setmainfont[Mapping=tex-text]{Carlito}
\setsansfont[Mapping=tex-text]{Carlito}
\usepackage[a4paper]{geometry}
\geometry{verbose,tmargin=2cm,bmargin=2cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}
\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{fancy}
\setcounter{secnumdepth}{3}
\setcounter{tocdepth}{3}
\synctex=-1
\usepackage{xcolor}
\usepackage{pdfcolmk}
\usepackage{longtable}
\usepackage{float}
\usepackage{units}
\usepackage{url}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{wasysym}
\usepackage[authoryear]{natbib}
\PassOptionsToPackage{normalem}{ulem}
\usepackage{ulem}
\usepackage[unicode=true,
 bookmarks=true,bookmarksnumbered=true,bookmarksopen=true,bookmarksopenlevel=4,
 breaklinks=false,pdfborder={0 0 1},backref=false,colorlinks=false]
 {hyperref}
\hypersetup{pdftitle={MAREST}}

\makeatletter

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% LyX specific LaTeX commands.
%% Because html converters don't know tabularnewline
\providecommand{\tabularnewline}{\\}
%% A simple dot to overcome graphicx limitations
\newcommand{\lyxdot}{.}

\providecolor{lyxadded}{rgb}{0,0,1}
\providecolor{lyxdeleted}{rgb}{1,0,0}
%% Change tracking with ulem
\DeclareRobustCommand{\lyxadded}[3]{{\texorpdfstring{\color{lyxadded}{}}{}#3}}
\DeclareRobustCommand{\lyxdeleted}[3]{{\texorpdfstring{\color{lyxdeleted}\lyxsout{#3}}{}}}
\DeclareRobustCommand{\lyxsout}[1]{\ifx\\#1\else\sout{#1}\fi}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% User specified LaTeX commands.
\usepackage{rotating}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{datetime2}

\usepackage{watermark}
\watermark{ \rotatebox{-45}{
\fontsize{48}{24}\selectfont \color{gray}
%version du \DTMnow
}}

\renewcommand{\topfraction}{1.0}
\renewcommand{\bottomfraction}{1.0}
\renewcommand{\floatpagefraction}{1.0}

\makeatother

\usepackage{polyglossia}
\setdefaultlanguage{french}
\begin{document}
\title{Contrat de Recherche n° 16CP09 relatif à\\
la propagation de la marée en estuaire}
\date{version du \DTMnow}
\author{Laboratoire LEGOS, Toulouse, \url{florent.lyard@legos.obs-mip.fr}}

\maketitle
\tableofcontents{}

\chapter{Introduction}

\lhead{MAREST}

\rfoot{02/24/20}

\lfoot{version du \DTMnow}

Dans le cadre du développement des capacités nécessaires à la création
de configurations estuarienne validées, il a été proposé :
\begin{itemize}
\item de développer un outil de calibration à partir des observations disponibles
\item et de livrer une interface graphique.
\end{itemize}
L'outil de calibration a été testé sur une configuration de l'estuaire
de la Gironde. Ce document explique comment cette configuration a
été réalisée, puis calibrée avec différente méthode, dont un nouvel
outil de calibration analytique. L'ensemble des figures, à l'exception
des images satellites, a été réalisé avec l'interface graphique.

Une configuration estuarienne a une limite océanique très proche de
la côte. Un modèle global ne peut pas, à cette limite, résoudre suffisamment
finement pour avoir la précision satisfaisante. Il est nécessaire
d'utiliser une configuration régionale intermédiaire entre le modèle
global et le modèle estuarien. Les détails et performances de cette
configuration seront données au chapitre \ref{s:NEA}. La configuration
Gironde et sa calibration, en particulier avec un nouvel outil analytique,
seront détaillés au chapitre \ref{s:Gironde}.\lyxadded{allain}{Fri Nov 27 11:42:58 2020}{
Le nouvel outil analytique est basé sur les amplitudes de marées,
qui sont peut-être trop faibles pour que l'outil fonctionne dans l'estuaire
amont. Les détails de l'étude de l'estuaire amont seront donnés au
chapitre \ref{s:amont}. Les fortes non-linéarité des estuaires font
échouer la méthode d'analyse harmonique de la marée, habituelle dans
l'océan. Des méthodes d'analyse du signal de marée adaptées aux estuaires
seront expliquées au chapitre \ref{s:analysis}. La conclusion générale
sera effectuée au chapitre \ref{s:Conclusion}.}

\chapter{NEA : le forçage Nord-Est Atlantique\label{s:NEA}}

\rhead{\nameref{s:NEA}}

L'estuaire de la Gironde a son embouchure autour de 45°N à l'est de
l'Atlantique. Pour faire la transition avec le modèle global, on utilise
la configuration NEA qui couvre l'est de l'Atlantique de moins de
25°N à plus de 60°N.

Les détails de la configuration seront donnés en \ref{s:NEA-config}
et ses performances en \ref{s:NEA-results}.

\section{Configuration\label{s:NEA-config}}

\subsection{Grille non-structurée et bathymétrie associée}

La grille non-structurée et la bathymétrie de la configuration NEA
sont représentées sur la figure \ref{f:NEA}.

La bathymétrie NEA a été crée lors du projet bathyCNES à partir de
ce qu'il se fait de mieux.

La longueur maximale de résolution est de 84~km, à la limite ouverte
là où la profondeur est autour de 5200~m (autour de 35°N). La longueur
minimale de résolution est autour de 1~km dans des raffinements locaux.
Plus particulièrement, la résolution est autour de 20, 5 et 2~km
respectivement dans la partie profonde du Golfe de Gascogne, sur le
plateau continental du Golfe de Gascogne et dans la Gironde. À ces
endroits, la résolution de FES2014 est autour de 30, 16 et 5~km,
soit 1.5 à 3 fois plus grossier.

\begin{figure}[ph]
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{NEA-grid}\includegraphics[width=0.5\textwidth]{NEA-bathymetry}

\includegraphics[width=0.5\textwidth]{NEA-grid-gironde}\includegraphics[width=0.5\textwidth]{NEA-bathymetry-gironde}

\caption{Grille non-structurée (à gauche) et bathymétrie (à droite) de la configuration
NEA et leurs zooms à l’entrée de la Gironde (en bas)\label{f:NEA}}
\end{figure}


\subsection{Forçages}

Le forçage atmosphérique utilisé est le même que pour FESDAC2017 \citep{FESDAC2017}
: ERA5 filtré.

La configuration NEA a été forcée aux limites par les marées de FES2014
\citep{FES2014} et les surcotes de FESDAC2017 \citep{FESDAC2017}.
Deux formulations différentes ont été testées : Flather et clamped.

\subsubsection{Formulation Flather}

Avec la formulation Flather, les frontières absorbent l'énergie générée
à l'intérieur du modèle que le modèle global ne résout pas. C'est
particulièrement utile dans le cas de phénomènes générés à petites
échelles, non résolues par le modèle global, et qui se propagent jusqu'à
la limite du domaine comme les ondes de Kelvin. C'est cependant néfaste
dans le cas opposé de phénomènes générés à grandes échelles résolues
par le modèle global et qui se propagent aussi jusqu'à la limite du
domaine comme les réflexions d'ondes de marées sur les talus continentaux.

Cette formulation nécessite des élévations et des vitesses hydrodynamiquement
cohérentes. Cela peut poser un problème dans le cas d'atlas assimilés.
En effet, dans notre cas avec FES2014, il y a de fortes différences
entre les vitesses maximales (le demi-grand axe des ellipses de marée)
des atlas hydrodynamique et assimilé. En particulier pour l'onde principale
M2, nous avons à la frontière du domaine, comme le montre la figure
\ref{f:NEA-uv-assim-hydro}:
\begin{itemize}
\item autour de 2\% au sud de 41°N
\item autour de 5\% entre 41°N et 56°N
\item autour de 10\% au delà de 56°N
\end{itemize}
\begin{figure}[H]
\begin{centering}
\includegraphics[height=10.88cm]{FES2014-uv-assim-hydro-NEA}
\par\end{centering}
\caption{Différences relatives entre les vitesses maximales (le demi-grand
axe des ellipses de marée) des atlas FES2014 hydrodynamique et assimilé\label{f:NEA-uv-assim-hydro}}
\end{figure}


\subsubsection{Formulation clamped}

Avec la formulation clamped, les frontières sont réfléchissantes.
Cette formulation ne nécessite que les élévations.

Les formulations Flather et clamped ayant des avantages et des inconvénients
parfaitement opposés, elle seront départagées dans le cadre de leur
validation en \ref{s:NEA-results}.

\section{Résultats\label{s:NEA-results}}

Pour s'assurer ces les conditions limites sont bonnes, il faut les
comparer aux observations. Dans le cas de NEA, c'est d'autant plus
nécessaire que 2 formulations sont disponibles et doivent être départagées
: Flather et clamped.

Il faut d'abord traiter les observations, comme détaillé en \ref{s:NEA-gauges}.
Les résultats de validations seront présentés en \ref{s:NEA-val}.

\subsection{Marégraphes\label{s:NEA-gauges}}

Les données de marégraphes ont été obtenues à partir de \url{data.shom.fr/donnees/catalogue/observation}
et leur emplacement représenté sur la figure \ref{f:gauges}.

\begin{figure}[H]
\begin{centering}
\includegraphics[height=10.6cm]{gauges}
\par\end{centering}
\caption{emplacement des marégraphes de validation de la configuration NEA\label{f:gauges}}
\end{figure}

Ces marégraphes sont utilisés pour la validation du forçage NEA. Les
données des mêmes marégraphes mais obtenues de \lyxadded{allain}{Fri Nov 27 12:42:56 2020}{GPMBx}\lyxdeleted{allain}{Fri Nov 27 12:42:56 2020}{GPMBx}
via le SHOM seront utilisées pour les validation des configuration
Gironde comme expliqué en \ref{s:gauges}.

Les marégraphes sont validés en comparant leur analyse harmonique
M2 avec l’atlas issu de la configuration clamped (tableau \ref{t:NEA-REFMAR}
et figure \ref{f:NEA-M2}).

Les marégraphes suivants ont montré de très forts écarts:
\begin{itemize}
\item BOURCEFRANC\_LE\_CHAPUS du fait de son banc découvrant
\item MIMIZAN du fait de l’influence de la rivière locale
\end{itemize}
comme le montre la figure \ref{f:gauges-removed}, et ont donc été
écartés.

\begin{figure}[H]
\includegraphics[width=0.56\textwidth]{gironde/observations/maregraphie/155_2007-07-13_to_27}
\includegraphics[width=0.44\textwidth]{gironde/observations/maregraphie/6144_2018-08-01_to_10-16}

\caption{Extraits des enregistrements des marégraphes de BOURCEFRANC\_LE\_CHAPUS
et MIMIZAN\label{f:gauges-removed}}

\end{figure}


\subsection{Validations\label{s:NEA-val}}

Les sorties de la validation de la configuration clamped sont sur
le tableau \ref{t:NEA-REFMAR}.

\begin{table}[H]
\begin{centering}
\include{NEA-REFMAR-}
\par\end{centering}
\caption{validation de NEA clamped\label{t:NEA-REFMAR}. Dans cette table,
on a o:observation, m:modèle. On prend $z_{o}$et $z_{m}$ les valeurs
des observations et du modèle, $N$ le nombre de valeurs et on note
$z=z_{m}-z_{o}$, $d_{1}=\left|z_{m}\right|-\left|z_{o}\right|$,
$d_{2}=\arg\left(z_{m}\right)-\arg\left(z_{o}\right)$, $d_{3}=\Re\left(z\right)$,
$d_{4}=\Im\left(z\right)$, $d_{5}=\frac{\sqrt{0.5}\left|z\right|}{0.5\left(\left|z_{m}\right|+\left|z_{o}\right|\right)}$,
la moyenne $\mu_{n}=N^{-1}\sum_{N}d_{n}$ et l'écart type $\sigma_{n}=\sqrt{N^{-1}\sum\left(d_{n}-\mu_{n}\right)^{2}}$
. On a donc: dans la colonne $\Delta a$ les valeurs de $\mu_{1}$
et $\sigma_{1}$; dans la colonne $\Delta G$ les valeurs de $\mu_{2}$
et $\sigma_{2}$; dans la colonne $e$ les valeurs de $c_{1}=\sqrt{0.5\left(\mu_{3}^{2}+\mu_{4}^{2}\right)}$,
$c_{2}=\sqrt{0.5\left(\sigma_{3}^{2}+\sigma_{4}^{2}\right)}$ et $c_{3}=\sqrt{N^{-1}\sum0.5\left|z\right|^{2}}$
(NB: $c_{1}^{2}+c_{2}^{2}=c_{3}^{2}$); dans la colonne $e/a$ la
valeur de $\mu_{5}$; dans la colonne mean les valeurs de $\mu_{3}$
et $\mu_{4}$. On a aussi dans la colonne $N$ les nombres de valeurs
observées et du modèle. Il peut y avoir moins de valeur pour le modèle
parce que certaines observations sont trop loin du domaine du modèle
pour qu'une valeur du modèle correspondante puisse être interpolée.}
\end{table}

Les erreurs sur les ondes M2, S2 et M4 des configurations Flather
et clamped sont représentées respectivement sur les figures \ref{f:NEA-M2},
\ref{f:NEA-S2} et \ref{f:NEA-M4}.

Pour les configurations Flather et clamped, les erreurs au large de
l'embouchure de la Gironde sont respectivement:
\begin{itemize}
\item pour l'onde M2 autour de 15 et 2~cm
\item pour l'onde S2 autour de 6 et 1~cm
\item pour l'onde M4 autour de 3 et 1.5~cm
\end{itemize}
\begin{figure}[ph]
\includegraphics[width=0.5\linewidth]{flather-M2}\includegraphics[width=0.5\linewidth]{clamped-M2}

\includegraphics[width=0.5\linewidth]{flather-M2-gironde}\includegraphics[width=0.5\linewidth]{clamped-M2-gironde}

\caption{Validation pour l'onde M2, amplitude et erreurs associées, sur les
configurations Flather (à droite) et clamped (à gauche) et leur zoom
à l'entrée de la Gironde\label{f:NEA-M2}. Pour Port-Bloc (45°34'N
1°3'W), les différences avec les marégraphes du SHOM et de \lyxadded{allain}{Fri Nov 27 12:42:56 2020}{GPMBx}\lyxdeleted{allain}{Fri Nov 27 12:42:56 2020}{GPMBx}
sont pour Flather 0.0732+/-0.000365 et 0.0879+/-0.000288 et pour clamped
0.0991+/-0.000365 et 0.0843+/-0.000288. Les erreurs au large de l'embouchure\lyxdeleted{allain}{Fri Nov 27 12:29:09 2020}{s}
de la Gironde sont autour de 15~cm pour la configurations Flather
et autour de 2~cm pour la configuration clamped.}

\end{figure}

\begin{figure}[ph]
\includegraphics[width=0.5\linewidth]{flather-S2}\includegraphics[width=0.5\linewidth]{clamped-S2}

\includegraphics[width=0.5\linewidth]{flather-S2-gironde}\includegraphics[width=0.5\linewidth]{clamped-S2-gironde}

\caption{Amplitudes S2 et erreurs associées sur les configurations Flather
et clamped et leur zoom à l'entrée de la Gironde\label{f:NEA-S2}.
Pour Port-Bloc (45°34'N 1°3'W), les différences avec les marégraphes
du SHOM et de \lyxadded{allain}{Fri Nov 27 12:42:56 2020}{GPMBx}\lyxdeleted{allain}{Fri Nov 27 12:42:56 2020}{GPMBx}
sont pour Flather 0.0324+/-0.000806 et 0.0395+/-0.00064 et pour clamped
0.0356+/-0.000806 et 0.0335+/-0.00064.}

\end{figure}

\begin{figure}[ph]
\includegraphics[width=0.5\linewidth]{flather-M4}\includegraphics[width=0.5\linewidth]{clamped-M4}

\includegraphics[width=0.5\linewidth]{flather-M4-gironde}\includegraphics[width=0.5\linewidth]{clamped-M4-gironde}

\caption{Amplitudes M4 et erreurs associées sur les configurations Flather
et clamped et leur zoom à l'entrée de la Gironde\label{f:NEA-M4}.
Pour Port-Bloc (45°34'N 1°3'W), les différences avec les marégraphes
du SHOM et de \lyxadded{allain}{Fri Nov 27 12:42:56 2020}{GPMBx}\lyxdeleted{allain}{Fri Nov 27 12:42:56 2020}{GPMBx}
sont pour Flather 0.021+/-0.00147 et 0.0248+/-0.00118 et pour clamped
0.0118+/-0.00147 et 0.0131+/-0.00118.}

\end{figure}


\section{Conclusion}

Pour le forçage à la limite océanique de la configuration Gironde,
2 configurations NEA ont été évaluées, une avec la formulation Flather,
l'autre avec la formulation \lyxdeleted{allain}{Fri Nov 27 12:29:34 2020}{C}\lyxadded{allain}{Fri Nov 27 12:30:03 2020}{c}lamped.

Leurs analyses harmoniques ont été comparées à des analyses altimétriques
et de marégraphes aux ondes M2, S2 et M4. Pour toutes ces ondes, au
large de l'embouchure de la Gironde:
\begin{itemize}
\item les erreurs de la configuration Flather sont fortes, de l'ord\lyxadded{allain}{Fri Nov 27 12:29:59 2020}{r}e
de 3 à 15 cm selon les ondes
\item les erreurs de la configuration clamped sont faibles, de l'ordre de
2~cm ou moins.
\end{itemize}
La configuration clamped étant la seule à avoir une précision satisfaisante,
ce sera celle utilisée pour le forçage de la configuration Gironde.

\chapter{Gironde\label{s:Gironde}}

\rhead{\nameref{s:Gironde}}

Nous avons vu au chapitre précédent comment obtenir des conditions
précises à la limite océanique de la configuration Gironde.

Comme toute configuration régionale, une configuration estuarienne
comporte les éléments suivants:
\begin{itemize}
\item aux limites du domaine:
\begin{itemize}
\item les conditions limites
\item les forçages atmosphérique et astronomique
\end{itemize}
\item au sein du domaine
\begin{itemize}
\item la bathymétrie et le frottement de fond
\item la grille
\end{itemize}
\end{itemize}
Dans le cadre d'une calibration, ce qui est modifié dans la configuration
est sélectionné sur les critères suivants:
\begin{itemize}
\item l'incertitude sur le paramètre
\item la pertinence espérée de l'influence sur les résultats de la modification
du paramètre.
\end{itemize}
\textbf{Les conditions aux limites} du domaine sont en générale précises:
\begin{itemize}
\item le modèle régional est validé dans le cadre de sa production
\item les limites amont sont basées sur des observations
\item les forçages atmosphériques sont eux aussi validés et/ou assimilés.
\end{itemize}
La \textbf{grille} dépend de la bathymétrie, mais la modification
de la bathymétrie ne sera que d'un facteur de l'ordre de 1 et changer
la grille d'origine pour une grille peu différente n'est pas pertinent,
en plus d'être coûteux en temps. La \textbf{bathymétrie} a au mieux
été difficile à obtenir. Elle n'est que très rarement obtenue à partir
de sonar multifaisceaux géoréférencé\lyxadded{allain}{Fri Nov 27 12:30:32 2020}{s}
et des erreurs en général de l'ordre de 10\% subsistent. Elle influe
sur la vitesse de propagation de la marée et donc sur la phase de
manière importante. Nous n'avons pas connaissance de mesure in situ
de \textbf{longueur de rugosité}. Elle n'est en générale issue au
départ que d'une estimation au mieux grossière. La longueur de rugosité
est le plus souvent modifiée pour calibrer une configuration.

La calibration est basée sur des observations. Les observations et
les zones de calibrations seront détaillées en \ref{s:Gironde-obs}.

Le cœur de ce projet est de développer un outil de calibration à partir
des observations disponibles afin d'obtenir des simulations dont les
résultats sont les plus proches possibles de la réalité. Comme base
de comparaison aux méthodes de calibration, les méthodes empiriques
ont été évaluées en \ref{s:Gironde-empirical}. Les détails d'un début
de tentative de recherche classique de solution seront donnés en \ref{s:minimum-search}.
Une nouvelle méthode analytique sera présentée en \ref{s:analytical}
et ses résultats en \ref{s:analytical-results}. Pour conclure cette
section, les résultats des différentes méthodes seront comparés en
\ref{s:Gironde-conclusion}.

\section{Observations et zonage de calibration\label{s:Gironde-obs}}

La qualité de la calibration dépend de la qualité des observations.
Les différents types de données d'observations disponibles pour cette
configuration seront détaillés en \ref{s:obs-types}.

Les modifications de la bathymétrie et du frottement de fond se feront
aussi suivant des zones délimitées par l'emplacement des instruments
qui ont permis d'obtenir ces observations. Le zonage de calibration
sera expliqué en \ref{s:z0}.

\subsection{Données de validations\label{s:obs-types}}

Trois type de données ont été utilisés pour évaluer les configurations:
des marégraphes, comme expliqué en \ref{s:gauges}, des données GNSS
détaillées en \ref{s:Gironde2018Campaign} et des données LIDAR, présentées
en \ref{s:LIDAR}.

\subsubsection{Marégraphes\label{s:gauges}}

Le débit et donc la morphologie d'un fleuve est souvent variable,
comme le montre par exemple les élévation et débit à Tonneins en 2018,
tracés sur la figure \ref{f:Tonneins-2018}. La marée, sensible à
la hauteur d'eau, de son estuaire l'est donc aussi. Il est donc important,
pour la validation, de prendre des données à la même période que pour
la modélisation. Les données des marégraphes \lyxadded{allain}{Fri Nov 27 12:42:56 2020}{GPMBx}\lyxdeleted{allain}{Fri Nov 27 12:42:56 2020}{GPMBx}
de la Gironde obtenues via le site du SHOM (voir \ref{s:NEA-gauges})
ne sont pas \lyxadded{allain}{Fri Nov 27 12:30:53 2020}{concomitantes}\lyxdeleted{allain}{Fri Nov 27 12:30:53 2020}{concommittantes}
entre elles, contrairement à celles transmises par le SHOM pour ce
projet. Ces dernières seront donc utilisées pour la validation.

\begin{figure}[H]
\includegraphics[width=1\linewidth]{gironde/data/tonneins_2018}

\caption{élévation et débit à Tonneins en 2018\label{f:Tonneins-2018}. Source:
\protect\url{http://www.hydro.eaufrance.fr}}
\end{figure}

La sortie TUGOm séquentiel comprend des extractions à des emplacements
de marégraphes, comme le montre la figure \ref{f:z0}.

Les marégraphes ont, au départ, leur propre référence verticale. Les
altitudes des références verticales des marégraphes par rapport au
géoïde IGN69 sont listées par le tableau \ref{t:IGN69-altitudes}.
On ajoute cette altitude à leur mesures pour obtenir des mesures référencée
par rapport à IGN69. IGN69 est 0.5m au-dessous du niveau moyen de
l'océan à l'embouchure de la Gironde, ce qui explique que 0.5m a été
enlevé aux données référencées en IGN69 avant de les comparer aux
données de simulation.

\begin{table}[H]
\begin{centering}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline 
 & longitude & latitude & altitude IGN69 de la référence verticale (m)\tabularnewline
\hline 
\hline 
Le Verdon & -1.061546 & 45.568432 & -2.871\tabularnewline
\hline 
Richard & -0.925240 & 45.443273 & -2.859\tabularnewline
\hline 
Laména & -0.795236 & 45.335728 & -2.817\tabularnewline
\hline 
Pauillac & -0.746044 & 45.218042 & -2.589\tabularnewline
\hline 
Fort Médoc & -0.700275 & 45.117264 & -2.261\tabularnewline
\hline 
Ambès & -0.603529 & 45.040482 & -2.002\tabularnewline
\hline 
Le Marquis & -0.559858 & 45.003123 & -1.878\tabularnewline
\hline 
Bassens & -0.537293 & 44.904185 & -1.824\tabularnewline
\hline 
Bordeaux & -0.552821 & 44.859973 & -1.812\tabularnewline
\hline 
Cadillac & -0.322086 & 44.634822 & 0.04\tabularnewline
\hline 
Langon & -0.238006 & 44.557767 & 1.88\tabularnewline
\hline 
Langon Airbus & -0.238006 & 44.557767 & 1.88-1.61=0.27 (voir figure \ref{f:Gironde2018-Langon-Airbus})\tabularnewline
\hline 
La \lyxdeleted{allain}{Fri Nov 27 12:31:33 2020}{Reole}\lyxadded{allain}{Fri Nov 27 12:31:33 2020}{Réole} & -0.036048 & 44.577660 & 6.23\tabularnewline
\hline 
Pessac & 0.078852 & 44.821572 & 3.33\tabularnewline
\hline 
\end{tabular}
\par\end{centering}
\caption{Altitudes des références verticales des marégraphes par rapport au
géoïde IGN69\label{t:IGN69-altitudes}. Pour Langon Airbus, voir le
commentaire de la figure \ref{f:Gironde2018-Langon-Airbus}. Sources:
SHOM, \lyxadded{allain}{Fri Nov 27 12:42:56 2020}{GPMBx}\lyxdeleted{allain}{Fri Nov 27 12:42:56 2020}{GPMBx}
et DREAL.}
\end{table}


\subsubsection{Campagne CalNa-Gironde\label{s:Gironde2018Campaign}}

Dans les cadres des projets MAREST et SWOT, une campagne de mesures
à intercomparer a été effectuée les 16 et 17 octobre 2018 \citep{Gironde2018Campaign}.
Cette campagne a utilisé des données GNSS de bouées et de nappes.

Les latitudes des nappes sont indiquées sur la figure \ref{f:Gironde2018-lat}.

\begin{figure}[H]
\includegraphics[width=1\linewidth]{gironde/nappe/infos_et_solutions/latitude}

\caption{Latitudes des nappes GNSS et de la bouée GNSS lors de la Campagne
CalNa-Gironde\label{f:Gironde2018-lat}}
\end{figure}

Pour voir à quel moment la crue de la Garonne est arrivée, les données
des marégraphes aux limites amonts, La Réole et Pessac, sont montrées
sur la figure \ref{f:Gironde2018-boundary-CalNa}.

Le niveau de la Garonne à La Réole, après être resté plus d'un mois
en dessous de 5.5m, est monté pour atteindre un maximum à 7.72m du
18 à 0hTU au 17 à 2h30TU. Plus de la moitié de cette monté s'est faite
le 16 entre 1hTU et 15h40TU, lorsque le niveau est monté de 5.5m à
7m. Après le maximum, le niveau est descendu assez régulièrement jusqu'à
6.62m le 18 à 6hTU.

Le niveau de la Dordogne à Pessac est, lui, resté entre 3.53m et 3.66m.

\begin{figure}[H]
\includegraphics[width=0.5\linewidth]{gironde/observations/delivery-2019-03-23/upper-estuary/processing/la-reole-limni_20171231_20181113-IGN69}\includegraphics[width=0.5\linewidth]{gironde/observations/delivery-2019-03-23/upper-estuary/processing/pessac-limni1_20171231_20181113-IGN69}

\caption{données des marégraphes aux limites amonts lors de la Campagne CalNa-Gironde\label{f:Gironde2018-boundary-CalNa}}
\end{figure}

Les données GNSS (nappe et bouée) colocalisées avec les marégraphes
(référence WGS84) sont comparées avec eux sur les figures \ref{f:Gironde2018-Lamena},
\ref{f:Gironde2018-Langon-Airbus} et \ref{f:Gironde2018-La-R=0000E9ole},
ce qui a permis de vérifier, voir d'établir, leur références verticales.

\begin{figure}[H]
\includegraphics[width=1\linewidth]{gironde/nappe/infos_et_solutions/blam181016_lam1_short_2-gauge}

\caption{Comparaisons des données du marégraphe de Lamena et du GNSS colocalisé
lors de la Campagne CalNa-Gironde\label{f:Gironde2018-Lamena}}
\end{figure}
\begin{figure}[H]
\includegraphics[width=1\linewidth]{gironde/nappe/infos_et_solutions/blgo181017_confc_l1_elev20_edited-gauge}

\caption{Comparaisons données du marégraphe Airbus du site de Langon et du
GNSS colocalisé lors de la Campagne CalNa-Gironde\label{f:Gironde2018-Langon-Airbus}.
Le marégraphe de la DREAL à Langon a une référence verticale à 1.88m
(tableau \ref{t:IGN69-altitudes}). Ce marégraphe était en panne lors
de la campagne CalNa-Gironde. À la place, le marégraphe du site d'Airbus
a été utilisé mais, sa référence verticale n'étant pas connue, celle
du marégraphe de la DREAL a été utilisée à la place. La comparaison
ci-dessus montre que la référence verticale du marégraphe du site
d'Airbus est 1.61m plus bas que celle du marégraphe de la DREAL.}
\end{figure}
\begin{figure}[H]
\includegraphics[width=1\linewidth]{gironde/nappe/infos_et_solutions/breo181016_confc_l1-gauge}

\caption{comparaisons des données du marégraphe de La Réole et du GNSS colocalisé
lors de la Campagne CalNa-Gironde\label{f:Gironde2018-La-R=0000E9ole}}
\end{figure}

\clearpage{}

\subsubsection{LIDAR\label{s:LIDAR}}

Dans le cadre de la campagne CalNa-Gironde (voir \ref{s:Gironde2018Campaign}),
des relevés LIDAR ont été effectués par l'Université de Caen pour
comparer la surface libre du fleuve avec les sorties de modèle et
vérifier la pente de l'estuaire amont\lyxadded{allain}{Fri Nov 27 12:33:32 2020}{
(figure \ref{f:leg})}. Du fait du mauvais temps, qui a produit la
crue, le vol a été décalé de quelques jours au 25 \lyxadded{allain}{Fri Nov 27 12:33:27 2020}{octobre}\lyxdeleted{allain}{Fri Nov 27 12:32:36 2020}{cotobre}
2018.

\begin{figure}[h]
\begin{centering}
\includegraphics[width=1\textwidth]{leg}
\par\end{centering}
\caption{leg LIDAR\citep{Gironde2018Campaign}\label{f:leg}}

\end{figure}

Des données LIDAR de la partie la plus aval en intensité et en hauteur
sont représentées sur les figures respectivement \ref{f:LIDAR-1}
et \ref{f:LIDAR-2}.

\begin{figure}[h]
\begin{centering}
\includegraphics[height=0.4\textheight]{gironde/LIDAR/intensity_l93181025_131655.PNG}
\par\end{centering}
\begin{centering}
\includegraphics[height=0.4\textheight]{gironde/LIDAR/intensity_l93181025_131655_zoom.PNG}
\par\end{centering}
\caption{intensité LIDAR et son zoom sur la partie la plus aval\label{f:LIDAR-1}}
\end{figure}

\begin{figure}[h]
\includegraphics[width=1\textwidth]{gironde/LIDAR/height_l93181025_131655_zoom.PNG}

\includegraphics[width=1\textwidth]{gironde/LIDAR/height_l93181025_131655_zoom+.PNG}

\caption{hauteur LIDAR et son zoom sur la partie la plus aval, en mètre\label{f:LIDAR-2}}
\end{figure}

Des données d'intensité LIDAR de la partie amont sont représentées
sur la figures \ref{f:LIDAR-3}.

\begin{figure}[H]
\includegraphics[width=1\textwidth]{gironde/LIDAR/Amont.PNG}

\caption{intensité LIDAR en amont de l'estuaire\label{f:LIDAR-3}}
\end{figure}

Une analyses fine des données de hauteur LIDAR de la partie amont
(non représentées) on permis de détecter un saut de niveau de part
et d'autre de Casseuil. Comme le montrent les images satellites Google
Earth de Casseuil de la figure \ref{f:Casseuil}, il y a effectivement
un seuil à cet endroit.

\begin{figure}[H]
\includegraphics[width=1\linewidth]{gironde/LIDAR/Castets-en-Dorthes}

\includegraphics[width=1\linewidth]{gironde/LIDAR/Casseuil}

\caption{Images satellites Google Earth de Casseuil\label{f:Casseuil}}
\end{figure}

Les traitements des données LIDAR étant encore en cours, la comparaison
avec les sorties de modèle a été reportée.

\clearpage{}

\subsection{Définition des zones de longueurs de rugosité\label{s:z0}}

Ni la nappe GNSS et encore moins le LIDAR ne donnent des observations
répétées en un même point sur une période suffisamment longue pour
permettre d'effectuer une analyse harmonique et ainsi d'isoler la
\lyxadded{allain}{Fri Nov 27 12:34:00 2020}{marée}\lyxdeleted{allain}{Fri Nov 27 12:34:00 2020}{maréee}.
Les marégraphes sont les seuls instruments donnant des observations
desquelles la marée peut être tirée et donc les seuls instrument sur
lesquels la calibration peut être basée. Les modifications de la bathymétrie
et du frottement de fond se font donc suivant des zones délimitée
par l'emplacement des marégraphes, comme le montre la figure \ref{f:z0}.

Il peut arriver que plusieurs zones se trouvent entre 2 marégraphes
aux données disponibles. Dans ce cas, on appliquera aux 2 zones les
mêmes paramètres. Les zones concernées sont les suivantes:
\begin{itemize}
\item nous n'avons pas de données pour Libourne : les zones 14 et 15 forment
une paire entre Ambes et Pessac
\item les zones 9 et 10 forment une paire entre Bordeaux et Cadillac
\item les zones 12 et 13 forment une paire entre Langon et La Réole
\end{itemize}
Il peut aussi arriver que plusieurs marégraphes se trouvent à la frontière
entre 2 zones. Dans ce cas, les données seront moyennées. Cela a été
le cas de 3 marégraphes à l'embouchure entre les zones 0 et 1: les
2 marégraphes, du SHOM et de \lyxadded{allain}{Fri Nov 27 12:42:56 2020}{GPMBx}\lyxdeleted{allain}{Fri Nov 27 12:42:56 2020}{GPMBx},
à Port-Bloc sur la rive gauche et le marégraphe du Verdon sur la rive
droite.

\begin{figure}[H]
\begin{centering}
\includegraphics[width=9.4cm]{gironde/data/z0-2020-n}
\par\end{centering}
\caption{emplacement des extractions des sorties séquentielles et zones de
longueurs de rugosité pour les configurations Gironde\label{f:z0}}
\end{figure}


\section{Calibrations empiriques\label{s:Gironde-empirical}}

Pour la calibration empirique, nous sommes parti d'une configuration
initiale détaillée en \ref{s:Gironde-z0}. Cette configuration a été
ajustée comme expliqué en \ref{s:Gironde-human}. La comparaison avec
les marégraphes et les données de la campagne CalNa-Gironde ayant
montré un défaut, celui-ci a été en parti corrigé comme expliqué en
\ref{s:min-depth}.

\subsection{Performances de la configuration initiale\label{s:Gironde-z0}}

La configuration Gironde a été initialement calibrée avec la version
spectrale de T-UGOm (SP), puis validée sur une simulation time-stepping
(TS), wetting-drying (WD) en 2017. Le changement de modèle forçant
sur la façade côtière (passant de nea-COMPAi à nea-2019, dont la précision
est nettement supérieure, voir validations précédentes) a motivée
une deuxième expérience de calibration basée sur des simulation TS/WD
afin d'améliorer le réalisme des simulations numériques, en particulier
sur la période de la campagne CalNa-Gironde (voir \ref{s:Gironde2018Campaign}).

Les simulations sont forcées sur la façade atlantique par les archives
de simulations de marée ET surcote nea-2019 (résolution temporelles
de 15 min), et par les élévations observées de la Dordogne à Pessac-sur-Dordogne
et de la Garonne à La Réole. Ces deux stations hydrologiques ont été
sélectionnées pour l'influence très réduite, voire nulle, de la marée
dans la hauteur de la surface fluviale. Le forçage atmosphérique (formules
bulk alimentées par le vent à 10 mètres et pression atmosphérique)
est extrait de la ré-analyse ERA5 du centre européen (résolution temporelle
de 1 heure). Le potentiel astronomique et celui de charge/auto-attraction
n'ont à priori pas été activés vu les dimensions réduite de la zone
modélisée, une expérience de sensibilité sera néanmoins conduite rapidement.

Les longueurs de rugosité ont été décidées à partir d'un \lyxadded{allain}{Fri Nov 27 12:34:39 2020}{a
priori}\lyxdeleted{allain}{Fri Nov 27 12:34:39 2020}{apriori} sur
la nature des fonds des zones \lyxadded{allain}{Fri Nov 27 12:34:52 2020}{concernées}\lyxdeleted{allain}{Fri Nov 27 12:34:52 2020}{conernées}:
\begin{itemize}
\item pour le fond sableux dans la zone océanique: 1~mm dans la zone 0
\item pour le fond vaseux dans la Gironde et autour de la confluence:
\begin{itemize}
\item 0.1~mm dans la moitié aval de la Gironde dans les zones 1 à 4, de
l'embouchure à Fort Médoc (45°07'N)
\item 0.05~mm autour de la confluence dans les zones 5 à 8, de Fort Médoc
à Bordeaux (44°52'N)
\item 0.1~mm dans les zones 9 et 10 de Bordeaux à Cadillac (44°38'N 0°19'W)
\end{itemize}
\item pour le fond gravillon\lyxadded{allain}{Fri Nov 27 12:35:16 2020}{n}eux
de Cadillac à La Réole: 5~mm
\end{itemize}
Les longueurs de rugosité et les différences complexes avec les marégraphes
sont données et représentées sur la figure \ref{f:gironde-z0}. La
validation est montrée sur le tableau \ref{t:gironde-z0}.

\begin{figure}[H]
\hfill{}%
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline 
zone & rugosité (m)\tabularnewline
\hline 
\hline 
0 & 1e-3\tabularnewline
\hline 
1 & 1e-4\tabularnewline
\hline 
2 & 1e-4\tabularnewline
\hline 
3 & 1e-4\tabularnewline
\hline 
4 & 1e-4\tabularnewline
\hline 
5 & 5e-5\tabularnewline
\hline 
6 & 5e-5\tabularnewline
\hline 
7 & 5e-5\tabularnewline
\hline 
8 & 5e-5\tabularnewline
\hline 
9 & 1e-4\tabularnewline
\hline 
10 & 1e-4\tabularnewline
\hline 
11 & 5e-3\tabularnewline
\hline 
\end{tabular}\hfill{}%
\begin{minipage}[c]{0.5\linewidth}%
\includegraphics[width=1\linewidth]{gironde/simulation-tides+DAC+rivers/marest-clamped-2m/M2}%
\end{minipage}

\includegraphics[width=0.5\linewidth]{gironde/simulation-tides+DAC+rivers/marest-clamped-2m/S2}\includegraphics[width=0.5\linewidth]{gironde/simulation-tides+DAC+rivers/marest-clamped-2m/M4}

\caption{longueurs de rugosité et amplitudes M2, S2 et M4 et erreurs associées
sur la première configuration Gironde\label{f:gironde-z0}.}
\end{figure}

\begin{table}[H]
\begin{centering}
\include{gironde/simulation-tides+DAC+rivers/marest-clamped-2m/validate-}
\par\end{centering}
\caption{validation de la première configuration Gironde\label{t:gironde-z0}.
L'explication des en-têtes de colonnes est donnée au tableau \ref{t:NEA-REFMAR}.}
\end{table}


\subsection{Calibration empirique\label{s:Gironde-human}}

Notre approche consiste à modifier les longueurs de rugosité en partant
de l'aval vers l'amont, et en qualifiant la précision des simulations
à partir des constantes harmoniques M2 (comparaison marégraphes/simulation),
avec à chaque étape un focus particulier sur le marégraphe amont des
polygones dont la valeur de z0 a été modifiée suivant les zones indiquée
sur la figure \ref{f:z0}. A l'issue de cette expérience, l'erreur
RMS sur les élévations de M2 a été réduite de 14 cm RMS (tableau \ref{t:gironde-z0})
à 7 cm RMS (tableau \ref{t:gironde-z0-v10}). Notons que les constantes
harmoniques marégraphiques ne correspondent pas à la période modélisée,
ce qui peut introduire un biais de calibration essentiellement dans
la partie amont de l'estuaire, la livraison ultérieure des séries
temporelles marégraphiques et hydrologiques de l'ensemble de la zone
du modèle sur la période 2016-2019 ayant permis de rectifier ce problème.

En l'état actuel, la version calibrée de nos simulation, appelée v10,
est particulièrement bien phasée pour M2, (moins de trois degrés d'erreur
sur l'ensemble des marégraphes) mais reste sur-amortie dans la partie
amont malgré des valeurs de z0 fortement diminués (figure \ref{f:gironde-z0-v10}
et tableau \ref{t:gironde-z0-v10}). De fait, les valeurs optimales
de z0 sont particulièrement faibles (\textasciitilde 1.e-05) entre
le marégraphe de Richard et Bordeaux, en regard des valeurs utilisées
en modélisation côtière (et actuellement prescrites au niveau de l'embouchure
jusqu'au marégraphe de Richard) qui sont plutôt de l’ordre de 1.e-04
à 1.e-03). Ceci est caractéristique d'un environnement vaseux (point
confirmé par les cartes sédimentologiques de la Gironde) et laisse
supposer que l'on se trouve éventuellement en présence de crème de
vase (frottement linéaire). L'amortissement excessif de la marée pourrait
aussi être en lien avec la diffusion horizontale et ses conditions
aux limites, comme c'est classiquement le cas dans les domaines fortement
canalisés. Ces deux derniers points font en ce moment l'objet de simulations
exploratoires.

\begin{figure}[h]
\hfill{}%
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline 
zone & rugosité (m)\tabularnewline
\hline 
\hline 
0 & 1e-3\tabularnewline
\hline 
1 & 5e-4\tabularnewline
\hline 
2 & 1e-5\tabularnewline
\hline 
3 & 1e-5\tabularnewline
\hline 
4 & 1e-5\tabularnewline
\hline 
5 & 1e-5\tabularnewline
\hline 
6 & 1e-5\tabularnewline
\hline 
7 & 1e-5\tabularnewline
\hline 
8 & 1e-5\tabularnewline
\hline 
9 & 1e-5\tabularnewline
\hline 
10 & 1e-5\tabularnewline
\hline 
11 & 5e-3\tabularnewline
\hline 
\end{tabular}\hfill{}%
\begin{minipage}[c]{0.5\linewidth}%
\includegraphics[width=1\linewidth]{gironde/simulation-tides+DAC+rivers/marest-clamped-2m-z0-v10/M2}%
\end{minipage}

\includegraphics[width=0.5\linewidth]{gironde/simulation-tides+DAC+rivers/marest-clamped-2m-z0-v10/S2}\includegraphics[width=0.5\linewidth]{gironde/simulation-tides+DAC+rivers/marest-clamped-2m-z0-v10/M4}

\caption{longueurs de rugosité et amplitudes M2, S2 et M4 et erreurs associées
sur la configuration v10\label{f:gironde-z0-v10}}
\end{figure}

\begin{table}[h]
\begin{centering}
\include{gironde/simulation-tides+DAC+rivers/marest-clamped-2m-z0-v10/validate-}
\par\end{centering}
\caption{validation de la configuration v10\label{t:gironde-z0-v10}. L'explication
des en-têtes de colonnes est donnée au tableau \ref{t:NEA-REFMAR}.}
\end{table}

Les comparaisons avec les données GNSS sont montrées sur les figures
\ref{f:blam181016_lam1_short_2-z0-v10} à \ref{f:cnam1810-diff-z0-v10}.

\begin{figure}[h]
\includegraphics[width=0.3\linewidth]{gironde/nappe/infos_et_solutions/blam181016_lam1_short_2-pocvip}\includegraphics[width=0.67\linewidth]{gironde/nappe/infos_et_solutions/blam181016_lam1_short_2}

\caption{station à LAMENA (point fixe)\label{f:blam181016_lam1_short_2-z0-v10}}
\end{figure}

\begin{figure}[h]
\includegraphics[width=0.3\linewidth]{gironde/nappe/infos_et_solutions/cnav181016_lam1_air_a2-pocvip}\includegraphics[width=0.67\linewidth]{gironde/nappe/infos_et_solutions/cnav181016_lam1_air_a2}

\caption{aller aval (PAUILLAC → LE VERDON)\label{f:cnav181016_lam1_air_a2-z0-v10}}
\end{figure}

\begin{figure}[h]
\includegraphics[width=0.3\linewidth]{gironde/nappe/infos_et_solutions/cnav181017_lam1_air_a2-pocvip}\includegraphics[width=0.67\linewidth]{gironde/nappe/infos_et_solutions/cnav181017_lam1_air_a2}

\caption{retour aval (LE VERDON → PAUILLAC)\label{f:cnav181017_lam1_air_a2-z0-v10}}
\end{figure}

\begin{figure}[h]
\includegraphics[width=0.3\linewidth]{gironde/nappe/infos_et_solutions/cnam181016_lam1_air_a2-pocvip}\includegraphics[width=0.67\linewidth]{gironde/nappe/infos_et_solutions/cnam181016_lam1_air_a2}

\caption{aller amont (PAUILLAC → CADILLAC)\label{f:cnam181016_lam1_air_a2-z0-v10}}
\end{figure}

\begin{figure}[h]
\includegraphics[width=0.3\linewidth]{gironde/nappe/infos_et_solutions/cnam181017_lam1_air_a1-pocvip}\includegraphics[width=0.67\linewidth]{gironde/nappe/infos_et_solutions/cnam181017_lam1_air_a1}

\caption{retour amont (CADILLAC → PAUILLAC)\label{f:cnam181017_lam1_air_a1-z0-v10}}
\end{figure}

\begin{figure}[h]
\includegraphics[width=0.31\linewidth]{gironde/nappe/infos_et_solutions/cnam181016_lam1_air_a2-diff}\includegraphics[width=0.31\linewidth]{gironde/nappe/infos_et_solutions/cnam181017_lam1_air_a1-diff}

\caption{différences en fonction de la localisation lors des aller et retour
amonts\label{f:cnam1810-diff-z0-v10}}
\end{figure}

Les comparaisons avec les marégraphes pendant la campagne CalNa-\lyxadded{allain}{Fri Nov 27 12:36:26 2020}{Gironde}\lyxdeleted{allain}{Fri Nov 27 12:36:26 2020}{Girdonde}
sont montrées sur les figures \ref{f:Gironde2018-lower-z0-v10-CalNa}
à \ref{f:Gironde2018-upper-z0-v10-CalNa}.

\begin{figure}[h]
\includegraphics[width=1\linewidth]{gironde/simulation-tides+DAC+rivers/marest-clamped-2m-z0-v10/Le_Verdon_20181013_20181026-IGN69}\\

\includegraphics[width=1\linewidth]{gironde/simulation-tides+DAC+rivers/marest-clamped-2m-z0-v10/Richard_20181013_20181026-IGN69}\\

\includegraphics[width=1\linewidth]{gironde/simulation-tides+DAC+rivers/marest-clamped-2m-z0-v10/Lamena_20181013_20181026-IGN69}\\

\includegraphics[width=1\linewidth]{gironde/simulation-tides+DAC+rivers/marest-clamped-2m-z0-v10/Pauillac_20181013_20181026-IGN69}

\caption{Comparaison entre les marégraphes avals (voir \ref{s:gauges}) et
la configuration v10 lors de la Campagne CalNa-Gironde (1/3)\label{f:Gironde2018-lower-z0-v10-CalNa}}
\end{figure}
\begin{figure}[h]
\includegraphics[width=1\linewidth]{gironde/simulation-tides+DAC+rivers/marest-clamped-2m-z0-v10/Fort_Medoc_20181013_20181026-IGN69}\\

\includegraphics[width=1\linewidth]{gironde/simulation-tides+DAC+rivers/marest-clamped-2m-z0-v10/Ambes_20181013_20181026-IGN69}\\

\includegraphics[width=1\linewidth]{gironde/simulation-tides+DAC+rivers/marest-clamped-2m-z0-v10/Le_Marquis_20181013_20181026-IGN69}\\

\includegraphics[width=1\linewidth]{gironde/simulation-tides+DAC+rivers/marest-clamped-2m-z0-v10/Bassens_20181013_20181026-IGN69}

\caption{Comparaison entre les marégraphes avals (voir \ref{s:gauges}) et
la configuration v10 lors de la Campagne CalNa-Gironde (2/3)\label{f:Gironde2018-lower-z0-v10-CalNa-1}}
\end{figure}
\begin{figure}[h]
\includegraphics[width=1\linewidth]{gironde/simulation-tides+DAC+rivers/marest-clamped-2m-z0-v10/Bordeaux_20181013_20181026-IGN69}

\caption{Comparaison entre les marégraphes avals (voir \ref{s:gauges}) et
la configuration v10 lors de la Campagne CalNa-Gironde (3/3)\label{f:Gironde2018-lower-z0-v10-CalNa-2}}
\end{figure}

\begin{figure}[h]
\includegraphics[width=1\linewidth]{gironde/simulation-tides+DAC+rivers/marest-clamped-2m-z0-v10/cadillac-limni_20171231_20181113-IGN69}\\

\includegraphics[width=1\linewidth]{gironde/simulation-tides+DAC+rivers/marest-clamped-2m-z0-v10/langon-airbus_20171231_20181113-IGN69}\\

\includegraphics[width=1\linewidth]{gironde/simulation-tides+DAC+rivers/marest-clamped-2m-z0-v10/la-reole-limni_20171231_20181113-IGN69}

\caption{Comparaison entre les marégraphes amonts (voir \ref{s:gauges}) et
la configuration v10 lors de la Campagne CalNa-Gironde\label{f:Gironde2018-upper-z0-v10-CalNa}}
\end{figure}
Les comparaisons avec les marégraphes en 2018 sont montrées sur la
figures \ref{f:Gironde2018-upper-z0-v10}.

\begin{figure}[h]
\includegraphics[width=1\linewidth]{gironde/simulation-tides+DAC+rivers/marest-clamped-2m-z0-v10/cadillac-limni_20171231_20181113-IGN69-2018}\\

\includegraphics[width=1\linewidth]{gironde/simulation-tides+DAC+rivers/marest-clamped-2m-z0-v10/langon-airbus_20171231_20181113-IGN69-2018}\\

\includegraphics[width=1\linewidth]{gironde/simulation-tides+DAC+rivers/marest-clamped-2m-z0-v10/la-reole-limni_20171231_20181113-IGN69-2018}

\caption{Comparaison entre les marégraphes amonts (voir \ref{s:gauges}) et
la configuration v10\label{f:Gironde2018-upper-z0-v10}}
\end{figure}

On voit sur les figures \ref{f:Gironde2018-upper-z0-v10-CalNa} et
\ref{f:Gironde2018-upper-z0-v10} que la configuration v10 sur-estime
l'élévation à marée basse de 1 à 2~m à Cadillac et Langon. La bathymétrie
de cette configuration a été seuillée à -2~m\lyxdeleted{allain}{Fri Nov 27 11:04:48 2020}{{[}Florent:
à vérifier{]}}: ce seuillage \lyxadded{allain}{Fri Nov 27 12:36:43 2020}{approfondit}\lyxdeleted{allain}{Fri Nov 27 12:36:43 2020}{approffondit}
le lit de la rivère en amont. Ce problème a été en partie traité comme
expliqué dans la section \ref{s:min-depth}.

\clearpage{}

\subsection{Ajustement du seuillage\label{s:min-depth}}

L'ajustement empirique de la configuration dans la partie amont a
rendu nécessaire une étude complémentaire sur la configuration aval.
L'erreur de seuillage a été en partie corrigée dans la configuration
upper-exploration-v8, qui ne commence que le 2018-08-01, en remontant
le seuillage de -2~m\lyxdeleted{allain}{Fri Nov 27 11:04:54 2020}{{[}Florent:
à vérifier{]}} à +2~m.

Les comparaisons avec les marégraphes pendant la campagne CalNa-\lyxadded{allain}{Fri Nov 27 12:36:26 2020}{Gironde}\lyxdeleted{allain}{Fri Nov 27 12:36:26 2020}{Girdonde}
sont montrées sur la figure \ref{f:Gironde2018-upper-exploration-v8-CalNa}.

\begin{figure}[h]
\includegraphics[width=1\linewidth]{gironde/simulation-tides+DAC+rivers/marest-upper-exploration-v8/cadillac-limni_20171231_20181113-IGN69}\\

\includegraphics[width=1\linewidth]{gironde/simulation-tides+DAC+rivers/marest-upper-exploration-v8/langon-airbus_20171231_20181113-IGN69}

\caption{Comparaison entre les marégraphes amonts (voir \ref{s:gauges}) et
la configuration upper-exploration-v8 lors de la Campagne CalNa-Gironde\label{f:Gironde2018-upper-exploration-v8-CalNa}}
\end{figure}
Les comparaisons avec les marégraphes sont montrées sur la figures
\ref{f:Gironde2018-upper-exploration-v8}. On voit en comparant les
figures \ref{f:Gironde2018-upper-exploration-v8-CalNa} et \ref{f:Gironde2018-upper-exploration-v8}
avec leur équivalent pour la configuration v10, les figures \ref{f:Gironde2018-upper-z0-v10-CalNa}
et \ref{f:Gironde2018-upper-z0-v10}, que le problème de sur-estimation
de l'élévation à marée basse à Cadillac et Langon a été résolut pour
Cadillac mais pas encore pour Langon.

\begin{figure}[h]
\includegraphics[width=1\linewidth]{gironde/simulation-tides+DAC+rivers/marest-upper-exploration-v8/cadillac-limni_20171231_20181113-IGN69-2018}\\

\includegraphics[width=1\linewidth]{gironde/simulation-tides+DAC+rivers/marest-upper-exploration-v8/langon-airbus_20171231_20181113-IGN69-2018}\\

\includegraphics[width=1\linewidth]{gironde/simulation-tides+DAC+rivers/marest-upper-exploration-v8/la-reole-limni_20171231_20181113-IGN69-2018}

\caption{Comparaison entre les marégraphes amonts (voir \ref{s:gauges}) et
la configuration upper-exploration-v8\label{f:Gironde2018-upper-exploration-v8}}
\end{figure}

\clearpage{}

\section{Calibration par recherche de minimum\label{s:minimum-search}}

L'évolution du résidu en fonction des paramètres étant fortement non-linéaire
et peu prévisible, la première méthode vers laquelle nous nous sommes
tournés a été la recherche du minimum de résidu, du fait de sa robustesse
et aussi de sa simplicité. La méthode sera expliquée en \ref{s:min-method}.
Un début d'application et les limites de la méthode seront exposés
en \ref{s:min-results}.

\subsection{Méthode\label{s:min-method}}

La méthode est basée sur une minimisation de la fonction de coût qu'est
le résidu.

On note $\Delta_{(i)}$ le résidu associé à une longueur de rugosité
$z_{0(i)}$. On considère que le résidu est une homothétie de part
et d'autre du minimum $z_{0(\text{min})}$:
\begin{gather*}
\forall z_{0}<z_{0(\text{min})}\rightarrow\frac{\partial\Delta}{\partial z_{0}}<0\\
\forall z_{0}>z_{0(\text{min})}\rightarrow\frac{\partial\Delta}{\partial z_{0}}>0
\end{gather*}
ce qui implique que:
\begin{gather*}
\forall z_{0(1)}<z_{0(2)}<z_{0(\text{min})}\rightarrow\Delta_{(1)}>\Delta_{(2)}\\
\forall z_{0(\text{min})}<z_{0(3)}<z_{0(4)}\rightarrow\Delta_{(3)}<\Delta_{(4)}
\end{gather*}
donc on peut trouver des limites hautes et basses pour $z_{0(\text{min})}$:
\begin{gather*}
\forall\Delta_{(1)}>\Delta_{(2)}\rightarrow z_{0(1)}<z_{0(\text{min})}\\
\forall\Delta_{(3)}<\Delta_{(4)}\rightarrow z_{0(\text{min})}<z_{0(4)}
\end{gather*}
donc on peut encadrer $z_{0(\text{min})}$:
\begin{gather*}
\forall\left(\Delta_{(1)}>\Delta_{(2)}<\Delta_{(3)},z_{0(1)}<z_{0(2)}<z_{0(3)}\right)\rightarrow z_{0(1)}<z_{0(\text{min})}<z_{0(3)}
\end{gather*}

La méthode est donc d'encadrer le minimum par deux valeurs puis de
resserrer cet encadrement.

\subsection{Application et limites\label{s:min-results}}

Un début de calibration a été effectué. Les valeurs des 3 premières
zones sont montrées sur le tableau \ref{t:dichotomy}. On doit remarquer
que la valeur de la zone 2 est trop faible.

\begin{table}[H]
\begin{centering}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline 
zone & rugosité (m)\tabularnewline
\hline 
\hline 
0 & 0.0104\tabularnewline
\hline 
1 & 5.43e-4\tabularnewline
\hline 
2 & 1.5e-11\tabularnewline
\hline 
\end{tabular}
\par\end{centering}
\caption{Premières valeurs de z0 obtenues par dichotomie. La valeur de la zone
2 est très inférieure à la taille d'une molécule d'eau ($\simeq10^{-10}\unit{m}$).\label{t:dichotomy}}

\end{table}

La valeur pour la zone 2 étant douteuse, l'impact du z0 de la zone
1 sur le résidu aux marégraphes à ses limites amont et aval a été
tracé sur la figure \ref{f:dichotomy-back-impact}. Il est clair que
l'influence d'une zone sur l'aval reste trop importante pour que la
calibration par zone soit sereinement automatisée. Une autre limite
est le coût de la méthode: un grand nombre d'essai reste \lyxadded{allain}{Fri Nov 27 12:37:05 2020}{nécessaire}\lyxdeleted{allain}{Fri Nov 27 12:37:05 2020}{nécéssaire}
pour obtenir une précision convenable.

\begin{figure}[H]
\begin{centering}
\includegraphics[width=0.3\linewidth]{gironde/optimisation-tides/z0_01-00}
\includegraphics[width=0.3\linewidth]{gironde/optimisation-tides/z0_01-00-z1}
\includegraphics[width=0.3\linewidth]{gironde/optimisation-tides/z0_01-00-z0}
\par\end{centering}
\caption{Impact du z0 de la zone 1 sur le résidu aux marégraphes à ses limites
amont (marégraphe de Richard) et aval (marégraphes de Port Bloc et
Royan): vu générale (à gauche) et zooms (au milieu et à droite). Bien
que les variations soient les plus fortes pour le résidu à la limite
amont, le résidu à la limite aval montre lui aussi des variations.
Il montre même un minimum à z0$\simeq$8e-4 alors que le minimum pour
la limite amont se trouve à z0=5.34e-4\label{f:dichotomy-back-impact}}
\end{figure}

Une calibration automatique par zone n'étant pas envisageable du fait
de la trop grande influence d'une zone sur l'aval et de son trop grand
coût, on lui \lyxadded{allain}{Fri Nov 27 12:37:57 2020}{préférera}\lyxdeleted{allain}{Fri Nov 27 12:37:57 2020}{préfèrera}
une calibration analytique où toutes les zones sont calibrées en même
temps, comme détaillé en \ref{s:analytical}.

\section{Calibrations analytiques : méthodologie\label{s:analytical}}

Dans cette section, je propose une méthode de calibration analytique
à partir du rapport des amplitudes observées. Je développe d'abord
le lien entre le flux d'énergie et l'amplitude en \ref{s:flux}. Je
développe ensuite le lien entre les amplitudes et le paramètre de
rugosité quadratique en \ref{s:quadratic} d'où je tire la méthode
de calibration en \ref{s:method}. Dans tous ces développements je
prends $\gamma_{n}$ des constantes de \lyxadded{allain}{Fri Nov 27 12:38:11 2020}{proportionnalité}\lyxdeleted{allain}{Fri Nov 27 12:38:11 2020}{proportionalité}.

Je présente enfin une utilisation de cette nouvelle méthode en \ref{s:analytical-results}.

\subsection{Analyse du flux d'énergie\label{s:flux}}

On \lyxadded{allain}{Fri Nov 27 12:38:24 2020}{considère}\lyxdeleted{allain}{Fri Nov 27 12:38:24 2020}{considére}
que la propagation de la marées dans un estuaire est similaire à la
propagation d'une onde barotrope dans un canal étroit. En négligeant
dans un premier temps la dissipation, avec $\eta$ l'élévation, $t$
le temps, $h$ la profondeur, $u$ la vitesse d'écoulement, $x$ la
distance le long du fleuve/canal et $g$ la pesanteur, on obtient
donc des équations d'onde équivalentes à celle d'une onde plane en
l'absence de force de Coriolis:

\begin{gather}
\frac{\partial\eta}{\partial t}=-h\frac{\partial u}{\partial x}\nonumber \\
\frac{\partial u}{\partial t}=-g\frac{\partial\eta}{\partial x}-ru\label{e:wave}
\end{gather}
$r$ est un coefficient de frottement soit indépendant de la vitesse
(frottement linéaire, \lyxadded{allain}{Fri Nov 27 12:38:36 2020}{caractéristique}\lyxdeleted{allain}{Fri Nov 27 12:38:36 2020}{cacactéritique}
des zones de crèmes de vase en estuaire), soit dépendant de la vitesse
(frottement turbulent quadratique) et se mettant alors sous la forme
$r=C_{d}\frac{\left|u\right|}{H}$.

En prenant la solution, avec $\eta^{*}$ et $u^{*}$ les amplitudes
complexes respectivement de l'élévation et de la vitesse:

\begin{gather}
k=\omega c^{-1}\nonumber \\
c=\sqrt{gh}\nonumber \\
\eta=\left|\eta^{*}\right|\cos\left(\arg\eta^{*}+\omega t+kx\right)\nonumber \\
u=\left|\eta^{*}\right|\sqrt{gh^{-1}}\cos\left(\arg\eta^{*}+\omega t+kx\right)\nonumber \\
=\left|u^{*}\right|\cos\left(\arg\eta^{*}+\omega t+kx\right)\nonumber \\
u^{*}=\eta^{*}\sqrt{gh^{-1}}\label{e:wave-solution}
\end{gather}
On a $J$ le flux d'énergie tel que:
\begin{equation}
J=hu^{*}\cdot\left(\rho g\eta^{*}\right)\label{e:flux}
\end{equation}

Avec (\ref{e:wave-solution}) et (\ref{e:flux}), on obtient :
\begin{equation}
J=hu^{*}\cdot\left(\rho g\frac{u^{*}}{\sqrt{gh^{-1}}}\right)
\end{equation}
on peut écrire la relation suivante entre $J$ et $u$:
\begin{equation}
h^{-1}\gamma_{u}J=\rho\left|u^{*}\right|^{2}\label{e:gamma_uJ}
\end{equation}
avec:

\begin{equation}
\gamma_{u}=h\frac{\sqrt{gh^{-1}}}{hg}=\frac{1}{\sqrt{gh}}\label{e:gamma_u}
\end{equation}

De manière à peu près identique pour la relation entre $J$ et $\eta$,
avec (\ref{e:wave-solution}) et (\ref{e:flux}), on obtient :
\begin{equation}
J=h\eta^{*}\sqrt{gh^{-1}}\cdot\left(\rho g\eta^{*}\right)
\end{equation}
on peut écrire la relation suivante entre $J$ et $\eta$:

\begin{gather}
J=\gamma_{\eta}\left|\eta^{*}\right|^{2}\label{e:gamma_etaJ}
\end{gather}
avec:
\begin{equation}
\gamma_{\eta}=h\sqrt{gh^{-1}}\rho g=\rho g\sqrt{gh}\label{e:gamma_eta}
\end{equation}


\subsection{Cas linéaire\label{s:linear}}

On a dans le cas linéaire:
\begin{equation}
\frac{\partial J}{\partial x}=-\rho rh\left|u^{*}\right|^{2}\label{e:r-work}
\end{equation}
Avec (\ref{e:gamma_uJ}), on peut réécrire (\ref{e:r-work}) de la
manière suivante:

\begin{gather}
\frac{\partial J}{\partial x}=-r\gamma_{u}J\label{e:r-work-J}
\end{gather}
On peut dériver (\ref{e:r-work-J}) de la manière suivante:

\begin{gather}
J=J_{0}e^{-r\gamma_{u}x}
\end{gather}
D'où on obtient:

\begin{gather}
J_{\textrm{amont}}=J_{\textrm{aval}}e^{-r\gamma_{u}\Delta x}\label{e:J}
\end{gather}
On prend:

\begin{equation}
\gamma_{0}=\gamma_{u}\Delta x\label{e:gamma0}
\end{equation}
Avec (\ref{e:gamma_etaJ}), (\ref{e:J}) et (\ref{e:gamma0}) on obtient:

\begin{gather}
\gamma_{\eta_{\textrm{amont}}}\eta_{\textrm{amont}}^{2}=\gamma_{\eta_{\textrm{aval}}}\eta_{\textrm{aval}}^{2}e^{-\gamma_{0}r}\nonumber \\
\gamma_{\eta_{\textrm{amont}}}^{\frac{1}{2}}\eta_{\textrm{amont}}=\gamma_{\eta_{\textrm{aval}}}^{\frac{1}{2}}\eta_{\textrm{aval}}e^{-\frac{1}{2}\gamma_{0}r}\nonumber \\
\frac{\eta_{\textrm{amont}}}{\eta_{\textrm{aval}}}=\left(\frac{\gamma_{\eta_{\textrm{aval}}}}{\gamma_{\eta_{\textrm{amont}}}}\right)^{\frac{1}{2}}e^{-\frac{1}{2}\gamma_{0}r}\nonumber \\
\ln\frac{\eta_{\textrm{amont}}}{\eta_{\textrm{aval}}}=\frac{1}{2}\ln\frac{\gamma_{\eta_{\textrm{aval}}}}{\gamma_{\eta_{\textrm{amont}}}}-\frac{1}{2}\gamma_{0}r
\end{gather}
qu'on réécrit:
\begin{equation}
\ln_{\eta}=\gamma_{1}-\frac{1}{2}\gamma_{0}r\label{e:eta-ratio}
\end{equation}
en notant:
\begin{equation}
\ln_{\eta}\equiv\ln\left(\eta_{\textrm{amont}}\eta_{\textrm{aval}}^{-1}\right)\label{e:ln_eta}
\end{equation}
et en prenant:

\begin{equation}
\gamma_{1}=\frac{1}{2}\ln\left(\gamma_{\eta_{\textrm{aval}}}\gamma_{\eta_{\textrm{amont}}}^{-1}\right)\label{e:gamma1}
\end{equation}
Finalement, on peut obtenir $r$ à partir de $\gamma_{0}$, $\gamma_{1}$
et $\ln_{\eta}$ avec:
\begin{equation}
r=2\frac{\gamma_{1}-\ln_{\eta}}{\gamma_{0}}\label{e:r}
\end{equation}

Comme le montre l'équation (\ref{e:r}), on peut obtenir $r$ à partir
de $\gamma_{0}$, $\gamma_{1}$ et $\ln_{\eta}$, ce dernier étant
calculés à partir des observations amont et aval. Il reste donc à
obtenir $\gamma_{0}$ et $\gamma_{1}$ , qui dépendent de la géométrie
du fleuve et donc ne peuvent être déterminé qu'expérimentalement avec
2 expériences de simulations avec deux valeurs de $r$, ci-après $r_{(1)}$
et $r_{(2)}$ et de deux valeurs de $\ln_{\eta}\equiv\ln\left(\eta_{\textrm{amont}}\eta_{\textrm{aval}}^{-1}\right)$,
ci-après $\ln_{\eta(1)}$ et $\ln_{\eta(2)}$ et obtenues à partir
des 2 expériences avec $r_{(1)}$ et $r_{(2)}$. En réécrivant (\ref{e:eta-ratio})
pour chaque expérience, on obtient:
\begin{gather}
\ln_{\eta(1)}=\gamma_{1}-\frac{1}{2}\gamma_{0}r_{(1)}\label{e:r_1}\\
\ln_{\eta(2)}=\gamma_{1}-\frac{1}{2}\gamma_{0}r_{(2)}\label{e:r_2}
\end{gather}
En prenant la différence (\ref{e:r_1})-(\ref{e:r_2}), on peut isoler
$\gamma_{0}$ avec:
\begin{gather}
\ln_{\eta(1)}-\ln_{\eta(2)}=\gamma_{1}-\frac{1}{2}\gamma_{0}r_{(1)}-\gamma_{1}+\frac{1}{2}\gamma_{0}r_{(2)}=\frac{1}{2}\gamma_{0}\left(r_{(1)}-r_{(2)}\right)\nonumber \\
2\frac{\ln_{\eta(1)}-\ln_{\eta(2)}}{r_{(1)}-r_{(2)}}=\gamma_{0}\label{e:linear-gamma0}
\end{gather}
Une fois $\gamma_{0}$ obtenu, on peut donc obtenir $\gamma_{1}$
avec (\ref{e:r_1}) ou (\ref{e:r_2}) :
\begin{equation}
\gamma_{1}=\ln_{\eta(1)}+\frac{1}{2}\gamma_{0}r_{(1)}=\ln_{\eta(2)}+\frac{1}{2}\gamma_{0}r_{(2)}
\end{equation}
Une fois $\gamma_{0}$ et $\gamma_{1}$ obtenus, il est donc possible
d'avoir $r$ en fonction de $\ln_{\eta}\equiv\ln\left(\eta_{\textrm{amont}}\eta_{\textrm{aval}}^{-1}\right)$
issu des observations avec l'équation (\ref{e:r}).

\subsection{Cas quadratique linéarisé\label{s:quadratic}}

La linéarisation du cas quadratique consiste à noter:
\begin{equation}
r=C_{d}h^{-1}\left|u^{*}\right|
\end{equation}
On réécrit (\ref{e:wave}):
\[
\frac{\partial u}{\partial t}=-g\frac{\partial\eta}{\partial x}-\frac{C_{d}}{h}\left|u^{*}\right|u
\]
On réécrit donc (\ref{e:r}) de la manière suivante:
\begin{gather}
C_{d}h^{-1}\left|u^{*}\right|=2\frac{\gamma_{1}-\ln_{\eta}}{\gamma_{0}}\nonumber \\
C_{d}=2h\frac{\gamma_{1}-\ln_{\eta}}{\gamma_{0}\left|u^{*}\right|}
\end{gather}
qu'on réécrit:
\begin{equation}
C_{d}=2\frac{\gamma_{1}-\ln_{\eta}}{\gamma_{0}^{\prime}}\label{e:Cd-gamma}
\end{equation}
en prenant, avec (\ref{e:gamma0}) et (\ref{e:gamma_u}):
\begin{equation}
\gamma_{0}^{\prime}=\frac{\gamma_{0}\left|u^{*}\right|}{h}=\frac{\gamma_{u}\Delta x\left|u^{*}\right|}{h}=\frac{\Delta x\left|u^{*}\right|}{h\sqrt{gh}}\label{e:gamma_0p}
\end{equation}

D'après la fonction karman\_Cd2D dans TUGOm, en prenant $H$ la hauteur
d'eau et $\kappa=0.4$ la constante de Von Karmann (voir constants.h),
on a $C_{d}$ tel que:
\begin{gather}
C_{d}=\left(\kappa\frac{H-z_{0}}{H\ln\frac{H}{z_{0}}+z_{0}-H}\right)^{2}\label{e:Cd}
\end{gather}
En prenant en compte que $H\gg z_{0},$on obtient l'approximation
de $C_{d}$ suivante:
\begin{gather}
C_{d}\approx C_{d}^{\sim}=\left(\frac{\kappa}{\ln\frac{H}{z_{0}}-1}\right)^{2}\nonumber \\
=\left(\frac{\ln H-1-\ln z_{0}}{\kappa}\right)^{-2}\label{e:Cd-approx}
\end{gather}
Cette approximation est validée par la figure \ref{f:Cd-approx}.

\begin{figure}[H]
\begin{centering}
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{Cd_vs_z0}
\par\end{centering}
\caption{\label{f:Cd-approx}Validation de l'approximation de $C_{d}$ par
(\ref{e:Cd-approx}) pour $H=1$. En \lyxadded{allain}{Fri Nov 27 12:39:04 2020}{abscisse}\lyxdeleted{allain}{Fri Nov 27 12:39:04 2020}{abcisse}:
la valeur de $z_{0},$en bleu: la valeur de $C_{d}$ données par (\ref{e:Cd});
en orange: la valeur de $C_{d}$ données par (\ref{e:Cd-approx});
en vert: la différence relative des 2 valeurs précédentes. Pour $z_{0}<10^{-2}$,
on a une erreur sur $C_{d}$ inférieure à 3\%.}
\end{figure}

On peut réécrire (\ref{e:Cd-approx}) de la manière suivante:
\begin{equation}
C_{d}=\left(\gamma_{2}-\kappa^{-1}\ln z_{0}\right)^{-2}\label{e:Cd-relation}
\end{equation}
en prenant:
\begin{equation}
\gamma_{2}=\left(\ln H-1\right)\kappa^{-1}
\end{equation}

À partir de (\ref{e:Cd-gamma}) et (\ref{e:Cd-relation}), on obtient:

\begin{gather}
2\gamma_{0}^{\prime-1}\left(\gamma_{1}-\ln_{\eta}\right)=C_{d}=\left(\gamma_{2}-\kappa^{-1}\ln z_{0}\right)^{-2}\nonumber \\
\left(2\gamma_{0}^{\prime-1}\right)^{\frac{1}{2}}\left(\gamma_{1}-\ln_{\eta}\right)^{-\frac{1}{2}}=\gamma_{2}-\kappa^{-1}\ln z_{0}\nonumber \\
\gamma_{2}-\left(2\gamma_{0}^{\prime-1}\right)^{\frac{1}{2}}\left(\gamma_{1}-\ln_{\eta}\right)^{-\frac{1}{2}}=\kappa^{-1}\ln z_{0}\nonumber \\
\exp\left(\kappa\left[\gamma_{2}-\left(2\gamma_{0}^{\prime-1}\right)^{\frac{1}{2}}\left(\gamma_{1}-\ln_{\eta}\right)^{-\frac{1}{2}}\right]\right)=z_{0}\label{e:analytical2}
\end{gather}
et on peut mettre en place la calibration analytique comme expliqué
en \ref{s:method}.

\subsection{Cas quadratique}

On a le travail de dissipation tel que:
\begin{equation}
\frac{\partial J}{\partial x}=-C_{d}\left|u^{*}\right|^{3}
\end{equation}
d'où on obtient:
\begin{equation}
\frac{\partial J}{\partial x}=-\gamma_{0}C_{d}J^{\frac{3}{2}}
\end{equation}
ce qui induit une décroissance du flux d'énergie en $x^{-2}:$

\begin{gather}
J=kx^{-2}\nonumber \\
J^{1.5}=k^{1.5}x^{-3}\nonumber \\
\frac{\partial J}{\partial x}=-2kx^{-3}=-2k^{-0.5}J^{1.5}=-\gamma_{0}C_{d}J^{1.5}\nonumber \\
k=4\left(\gamma_{0}C_{d}\right)^{-2}\nonumber \\
J=4\left(\gamma_{0}C_{d}x+\gamma_{1}\right)^{-2}
\end{gather}
d'où on ne peut pas dériver $C_{d}$ de manière simple.

\subsection{Méthode\label{s:method}}

Comme le montre l'équation (\ref{e:analytical2}), on peut obtenir
$z_{0}$ à partir de $\gamma_{0}^{\prime}$, $\gamma_{1}$, $\gamma_{2}$
et $\ln_{\eta}$, ce dernier étant calculés à partir des observations
amont et aval. Les variations de $\gamma_{0}^{\prime}$ n'ont que
peu d'impact sur $z_{0}$. Il reste donc à obtenir $\gamma_{1}$ et
$\gamma_{2}$ , qui dépendent de la géométrie du fleuve et donc ne
peuvent être déterminé qu'expérimentalement avec 2 expériences de
simulations. La démarche est donc similaire à une interpolation linéaire
mais avec des équations plus compliquées, comme expliqué en \ref{s:method-maths}.
Du fait des non-linéarités et des interférences entre zones, $\gamma_{1}$
et $\gamma_{2}$ ne peuvent être déterminés précisément au premier
essai: une itération est nécessaire. L'algorithme d'un cycle de calibration
sera détaillé en \ref{s:method-algo}.

\subsubsection{Développements mathématiques\label{s:method-maths}}

On peut obtenir $\gamma_{1}$ et $\gamma_{2}$ à partir de deux valeurs
de $z_{0}$, ci-après $z_{0(1)}$ et $z_{0(2)}$ et de deux valeurs
de $\ln_{\eta}\equiv\ln\left(\eta_{\textrm{amont}}\eta_{\textrm{aval}}^{-1}\right)$,
ci-après $\ln_{\eta(1)}$ et $\ln_{\eta(2)}$et obtenues à partir
des 2 expériences avec $z_{0(1)}$ et $z_{0(2)}$. En réécrivant (\ref{e:analytical2})
pour chaque expérience, on obtient:

\begin{gather}
\gamma_{2}-\left(2\gamma_{0}^{\prime-1}\right)^{\frac{1}{2}}\left(\gamma_{1}-\ln_{\eta(1)}\right)^{-\frac{1}{2}}=\kappa^{-1}\ln z_{0(1)}\label{e:z0_1}\\
\gamma_{2}-\left(2\gamma_{0}^{\prime-1}\right)^{\frac{1}{2}}\left(\gamma_{1}-\ln_{\eta(2)}\right)^{-\frac{1}{2}}=\kappa^{-1}\ln z_{0(2)}\label{e:z0_2}
\end{gather}
En prenant la différence (\ref{e:z0_1})-(\ref{e:z0_2}), on peut
commencer à isoler $\gamma_{1}$ avec:

\begin{gather}
\gamma_{2}-\left(2\gamma_{0}^{\prime-1}\right)^{\frac{1}{2}}\left(\gamma_{1}-\ln_{\eta(1)}\right)^{-\frac{1}{2}}-\gamma_{2}-\left(2\gamma_{0}^{\prime-1}\right)^{\frac{1}{2}}\left(\gamma_{1}-\ln_{\eta(2)}\right)^{-\frac{1}{2}}=\kappa^{-1}\ln\frac{z_{0(1)}}{z_{0(2)}}\nonumber \\
-\left(\gamma_{1}-\ln_{\eta(1)}\right)^{-\frac{1}{2}}+\left(\gamma_{1}-\ln_{\eta(2)}\right)^{-\frac{1}{2}}=\left(2\gamma_{0}^{\prime-1}\right)^{\frac{1}{2}}\kappa^{-1}\ln\frac{z_{0(1)}}{z_{0(2)}}\label{e:z0_1-2}
\end{gather}

Si on prend:
\begin{gather}
a=\gamma_{1}-\ln_{\eta(2)}\nonumber \\
b=\gamma_{1}-\ln_{\eta(1)}
\end{gather}
on peut réécrire (\ref{e:z0_1-2}) de la manière suivante:
\begin{equation}
a^{-\frac{1}{2}}-b^{-\frac{1}{2}}=\left(2\gamma_{0}^{\prime-1}\right)^{\frac{1}{2}}\kappa^{-1}\ln\frac{z_{0(1)}}{z_{0(2)}}\label{e:am1h-bm1h}
\end{equation}
on sait aussi que:
\begin{equation}
a-b=\ln_{\eta(1)}-\ln_{\eta(2)}\label{e:a-b}
\end{equation}
Le système d'équations (\ref{e:am1h-bm1h})(\ref{e:a-b}) n'a pas
de solution triviale et donc sa résolution est réalisée par une méthode
itérative. On peut retrouver $a$ et $b$ avec la fonction $f$ telle
que $f:\left(a-b,a^{-0.5}-b^{-0.5}\right)\rightarrow a$. On donne
à la fonction $f$ les arguments suivants:
\begin{gather}
\delta=a-b\nonumber \\
\delta_{-\frac{1}{2}}=a^{-\frac{1}{2}}-b^{-\frac{1}{2}}
\end{gather}
La fonction $f$ est itérative: on calcule une première solution avec:
\begin{gather}
a_{0}=\left(-2\frac{\delta_{-\frac{1}{2}}}{\delta}\right)^{-\frac{2}{3}}\nonumber \\
b_{0}=a_{0}+\delta\label{e:f0}
\end{gather}
et on itère avec:
\begin{equation}
a_{n+1}=a_{n}\left(\frac{a_{n}^{-0.5}-b_{n}^{-0.5}}{\delta_{-\frac{1}{2}}}\right)^{\frac{2}{3}}
\end{equation}

On a:
\begin{equation}
\gamma_{1}=\ln_{\eta(1)}+f\left(\ln_{\eta(1)}-\ln_{\eta(2)},\left(2\gamma_{0}^{\prime-1}\right)^{\frac{1}{2}}\kappa^{-1}\ln\frac{z_{0(1)}}{z_{0(2)}}\right)\label{e:analytical-gamma1}
\end{equation}
Une fois $\gamma_{1}$ obtenu, on peut donc obtenir $\gamma_{2}$
aussi à partir de (\ref{e:z0_1}) ou (\ref{e:z0_2}) :

\begin{equation}
\gamma_{2}=\kappa^{-1}\ln z_{0(1)}+\left(2\gamma_{0}^{\prime-1}\right)^{\frac{1}{2}}\left(\gamma_{1}-\ln_{\eta(1)}\right)^{-\frac{1}{2}}=\kappa^{-1}\ln z_{0(2)}+\left(2\gamma_{0}^{\prime-1}\right)^{\frac{1}{2}}\left(\gamma_{1}-\ln_{\eta(2)}\right)^{-\frac{1}{2}}\label{e:analytical-gamma2}
\end{equation}

On montre désormais que la valeur de $\gamma_{0}^{\prime}$ n'a que
peu d'importance. Tout d'abord, pour ce développement, on prend l'approximation
suivante pour la fonction $f,$avec l'équation (\ref{e:f0}):
\begin{equation}
f\left(\delta,\delta_{-\frac{1}{2}}\right)\approx a_{0}=\left(-2\frac{\delta_{-\frac{1}{2}}}{\delta}\right)^{-\frac{2}{3}}\label{e:f-approx}
\end{equation}
On peut donc \lyxadded{allain}{Fri Nov 27 12:39:23 2020}{approximer}\lyxdeleted{allain}{Fri Nov 27 12:39:23 2020}{appoximer}
(\ref{e:analytical-gamma1}) de la manière suivante:
\begin{equation}
\gamma_{1}\approx\ln_{\eta(1)}+\left(-2\frac{\left(2\gamma_{0}^{\prime-1}\right)^{\frac{1}{2}}\kappa^{-1}\ln\frac{z_{0(1)}}{z_{0(2)}}}{\ln_{\eta(1)}-\ln_{\eta(2)}}\right)^{-\frac{2}{3}}\label{e:gamma1-approx}
\end{equation}
Quand $z_{0}$ est multiplié par 100 entre 2 expériences, $\eta$
est diminué d'environ 10\%. On a donc:
\begin{gather}
\ln\frac{z_{0(1)}}{z_{0(2)}}\approx-4.6\nonumber \\
\ln_{\eta(1)}-\ln_{\eta(2)}\approx0.1\nonumber \\
\left(-2\frac{2^{\frac{1}{2}}\kappa^{-1}\ln\frac{z_{0(1)}}{z_{0(2)}}}{\ln_{\eta(1)}-\ln_{\eta(2)}}\right)^{-\frac{2}{3}}\approx0.021\label{e:gamma1-ln_eta1}
\end{gather}
Avec les équations (\ref{e:gamma1-approx}) et (\ref{e:gamma1-ln_eta1}),
on peut écrire:
\begin{equation}
\gamma_{1}-\ln_{\eta(1)}\approx0.021\gamma_{0}^{\prime\frac{1}{3}}\label{e:gamma1-eta1}
\end{equation}
La différence entre $\ln_{\eta(1)}$ et $\ln_{\eta}$ est en générale
de 0.05. On a donc, avec (\ref{e:gamma1-eta1}):
\begin{equation}
\gamma_{1}-\ln_{\eta}\approx\gamma_{1}-\ln_{\eta(1)}\approx0.021\gamma_{0}^{\prime\frac{1}{3}}+0.05\label{e:gamma1-eta}
\end{equation}
Avec (\ref{e:analytical-gamma2}), on peut réécrire (\ref{e:analytical2})
de la manière suivante:
\begin{gather}
z_{0}=\exp\left(\kappa\left[\kappa^{-1}\ln z_{0(1)}+\left(2\gamma_{0}^{\prime-1}\right)^{\frac{1}{2}}\left(\gamma_{1}-\ln_{\eta(1)}\right)^{-\frac{1}{2}}-\left(2\gamma_{0}^{\prime-1}\right)^{\frac{1}{2}}\left(\gamma_{1}-\ln_{\eta}\right)^{-\frac{1}{2}}\right]\right)\nonumber \\
=\exp\left(\ln z_{0(1)}+\kappa\left(2\gamma_{0}^{\prime-1}\right)^{\frac{1}{2}}\left[\left(\gamma_{1}-\ln_{\eta(1)}\right)^{-\frac{1}{2}}-\left(\gamma_{1}-\ln_{\eta}\right)^{-\frac{1}{2}}\right]\right)\label{e:analytical2-gamma2}
\end{gather}
Avec (\ref{e:gamma1-eta1}) et (\ref{e:gamma1-eta}), on peut réécrire
(\ref{e:analytical2-gamma2}) de la manière suivante:
\begin{equation}
z_{0}\approx\exp\left(\ln z_{0(1)}+\kappa\left(2\gamma_{0}^{\prime-1}\right)^{\frac{1}{2}}\left[\left(0.021\gamma_{0}^{\prime\frac{1}{3}}\right)^{-\frac{1}{2}}-\left(0.021\gamma_{0}^{\prime\frac{1}{3}}+0.05\right)^{-\frac{1}{2}}\right]\right)\label{e:z0-numerical}
\end{equation}
Pour $\gamma_{0}^{\prime}=10$, on a avec (\ref{e:z0-numerical}):
\begin{gather*}
z_{0\left(\gamma_{0}^{\prime}=10\right)}\approx\exp\left(\ln z_{0(1)}+\kappa\left(2\times10^{-1}\right)^{\frac{1}{2}}\left[\left(0.021\times10^{\frac{1}{3}}\right)^{-\frac{1}{2}}-\left(0.021\times10^{\frac{1}{3}}+0.05\right)^{-\frac{1}{2}}\right]\right)\\
z_{0\left(\gamma_{0}^{\prime}=10\right)}\approx\exp\left(\ln z_{0(1)}+0.26\right)
\end{gather*}
et pour $\gamma_{0}^{\prime}=10^{4}$, on a avec (\ref{e:z0-numerical}):
\begin{gather*}
z_{0\left(\gamma_{0}^{\prime}=10^{4}\right)}=\exp\left(\ln z_{0(1)}+\kappa\left(2\times10^{-4}\right)^{\frac{1}{2}}\left[\left(0.021\times10^{\frac{4}{3}}\right)^{-\frac{1}{2}}-\left(0.021\times10^{\frac{4}{3}}+0.05\right)^{-\frac{1}{2}}\right]\right)\\
z_{0\left(\gamma_{0}^{\prime}=10^{4}\right)}\approx\exp\left(\ln z_{0(1)}+4.3\times10^{-4}\right)
\end{gather*}
Changer $\gamma_{0}^{\prime}$ d'un facteur 1000 modifie $z_{0}$
d'un facteur $\exp\left(0.26\right)=1.3$ ce qui est tout à fait négligeable.

Donc une fois $\gamma_{1}$ et $\gamma_{2}$ obtenus, il est donc
possible d'avoir $z_{0}$ en fonction de $\ln_{\eta}\equiv\ln\left(\eta_{\textrm{amont}}\eta_{\textrm{aval}}^{-1}\right)$
issu des observations avec l'équation (\ref{e:analytical2}) en négligeant
la valeur de $\gamma_{0}^{\prime}$ .

\subsubsection{Algorithme d'un cycle de calibration analytique\label{s:method-algo}}

La méthode est donc, pour chaque cycle de calibration, de calculer
$z_{0}$ avec l'équation (\ref{e:analytical2}) à partir du $\ln_{\eta}$
issu des observations et de $\gamma_{1}$ et $\gamma_{2}$. Comme
expliqué en \ref{s:method-maths}, il faut 2 expériences avec deux
valeurs de $z_{0}$ par zone. Une troisième expérience est effectué
avec la valeur de $z_{0}$ ainsi calculée.

Pour \textbf{chacune des 3 configurations} on fait tourner le modèle
et on note le rapport $\eta_{\textrm{amont}}\eta_{\textrm{aval}}^{-1}$
correspondant.
\begin{enumerate}
\item On obtient $\gamma_{1}$ et $\gamma_{2}$ à partir de 2 configurations
avec des valeurs de $z_{0}$ différentes.
\begin{enumerate}
\item Pour la \textbf{première configuration}, on prend prend :
\begin{itemize}
\item soit, dans le cas du tout premier cycle, un $z_{0}$ arbitraire
\item soit, dans le cas des cycles suivant, le $z_{0}$ calculé lors du
cycle précédent
\end{itemize}
\item On compare les rapports $\eta_{\textrm{amont}}\eta_{\textrm{aval}}^{-1}$
ainsi obtenus avec les observations:
\begin{itemize}
\item quand ils sont trop bas, on diminue le $z_{0}$,
\item et quand ils sont trop haut, on augmente le $z_{0}$
\end{itemize}
pour obtenir la \textbf{deuxième configuration}.
\end{enumerate}
On calcule ensuite $\gamma_{1}$ avec (\ref{e:analytical-gamma1})
et $\gamma_{2}$ avec (\ref{e:analytical-gamma2}).
\item On calcule $z_{0}$ à partir du $\ln_{\eta}$ issu des observations
et de $\gamma_{1}$ et $\gamma_{2}$ avec l'équation (\ref{e:analytical2}).
\begin{itemize}
\item On corrige les valeurs trop extrapolée.
\end{itemize}
Cela donne une \textbf{troisième configuration}.
\end{enumerate}

\section{Calibrations analytiques : applications\label{s:analytical-results}}

Nous venons d'expliquer en détail la méthode de calibration analytique.
Nous allons désormais passer aux applications. Afin de tester la sensibilité
des résultats au données de validation et au déroulement de la méthode,
plusieurs tests ont été effectués. Après une brève explication sur
les graphiques de cycle de calibration en \ref{s:analytical-eg},
les résultats d'une première calibration avec les données REFMAR sont
présentés en \ref{s:REFMAR}, et les résultats de calibrations semi-automatisée
et automatisée sont présentés en \ref{s:DGS-2018spring}.

\subsection{Explication des graphiques de cycle de calibration analytique\label{s:analytical-eg}}

Comme illustré par la figure \ref{f:analytical-eg}, pour chaque cycle,
on prend un graphique avec, pour les axes:
\begin{itemize}
\item en abscisse le rapport $\eta_{\textrm{amont}}\eta_{\textrm{aval}}^{-1}$
normalisé avec l'observation
\begin{itemize}
\item la cible est l'égalité entre l'observation et le modèle, soit la valeur
1, indiquée en noir,
\end{itemize}
\item et en ordonnées les valeurs de $z_{0}$.
\end{itemize}
Sur ces axes, on trace:
\begin{enumerate}
\item pour le calcul de $\gamma_{1}$ et $\gamma_{2}$ :
\begin{enumerate}
\item la \textbf{première configuration} avec $\CIRCLE$
\item la \textbf{deuxième configuration} avec $\RHD$
\end{enumerate}
et une ligne courbe selon l'équation (\ref{e:analytical2}), qui rejoint
donc ces 2 points
\begin{itemize}
\item et dont l'asymptote, qui montre la position de $\exp\gamma_{1}$,
est aussi tracée
\end{itemize}
\item la \textbf{troisième configuration} avec \textbf{+}
\begin{itemize}
\item son ordonnée est donc la même que l'intersection de la courbe avec
la cible
\begin{itemize}
\item sauf pour les zones où la valeur, trop extrapolée, a été corrigée
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{enumerate}
avec
\begin{itemize}
\item une couleur pour chaque zone
\begin{itemize}
\item comme l'indique la légende.
\end{itemize}
\end{itemize}
\begin{figure}[H]
\begin{centering}
\includegraphics[height=0.25\textheight]{analytical}
\par\end{centering}
\caption{exemple idéalisé d'un graphique de cycle de calibration pour une seule
zone\label{f:analytical-eg}}
\end{figure}


\subsection{Calibration avec les analyses des données REFMAR\label{s:REFMAR}}

Les données REFMAR étant les premières étant à notre disposition,
les premier tests ont été effectués avec ces données.

\begin{table}[H]
\begin{centering}
\input{gironde/optimisation-tides/z0_1Em4/REFMAR-.tex}
\par\end{centering}
\caption{Validations de la configuration z0\_1Em4 avec les données REFMAR\label{t:z0_1Em4-REFMAR}.
L'explication des en-têtes de colonnes est donnée au tableau \ref{t:NEA-REFMAR}.
On note une précision pour M2 de 7 et pour S2 de 8\%.}
\end{table}

Pour le premier cycle de calibration:
\begin{enumerate}
\item on obtient $\gamma_{1}$ et $\gamma_{2}$ à partir de:
\begin{enumerate}
\item la \textbf{première configuration} ($\CIRCLE$) où $z_{0}=10^{-4}$
dans toutes les zones, et donc \textbf{appelée z0\_1Em4}, et dont
le tableau de validation est le \ref{t:z0_1Em4-REFMAR}
\item et la \textbf{deuxième configuration} ($\RHD$) où, pour chaque zone,
$z_{0}$ est augmenté ou diminué 100 fois, soit $z_{0}=10^{-2}$ ou
$z_{0}=10^{-6}$, selon que le rapport $\eta_{\textrm{amont}}\eta_{\textrm{aval}}^{-1}$
de la première configuration est respectivement trop haut ou trop
bas par rapport aux observations REFMAR, et donc \textbf{appelée z0\_REFMAR\_1Em6to1Em2}
\end{enumerate}
\item la \textbf{troisième configuration} (\textbf{+}) est \textbf{appelée
z0\_REFMAR\_cycle1}.
\begin{itemize}
\item Pour les zones 4 et 6, on a pris $z_{0}=10^{-8}$ .
\end{itemize}
\end{enumerate}
Sur le graphique de ce cycle de calibration (figure \ref{f:cal-REFMAR}),
on remarque que la troisième configuration (\textbf{+}) est plus près
de 1, la cible, que la première configuration ($\CIRCLE$), ce qui
se traduit par une meilleure validation. Le comportement de la zone
4 (de \lyxadded{allain}{Fri Nov 27 12:40:44 2020}{Trompeloup}\lyxdeleted{allain}{Fri Nov 27 12:40:44 2020}{Trompleloup}
à Fort-Médoc) est tout à fait particulier: une asymptote légèrement
inférieure à 1, et, pour la troisième configuration, un rapport $\eta_{\textrm{amont}}\eta_{\textrm{aval}}^{-1}$
bien supérieur à l'asymptote.

Les + ne sont pas exactement sur la ligne courbe, sûrement à cause
des interactions entre zones. On effectue donc un 2ème cycle de calibration,
pour lequel:
\begin{enumerate}
\item on obtient $\gamma_{1}$ et $\gamma_{2}$ à partir de:
\begin{enumerate}
\item la \textbf{première configuration} ($\CIRCLE$) qui est \textbf{z0\_REFMAR\_cycle1}
\item et la \textbf{deuxième configuration} ($\RHD$) où, pour chaque zone,
$z_{0}$ est augmenté ou diminué 10 fois selon que le rapport $\eta_{\textrm{amont}}\eta_{\textrm{aval}}^{-1}$
de la première configuration est respectivement trop haut ou trop
bas par rapport aux observations REFMAR,
\begin{itemize}
\item sauf pour les zones 2, 4 et 6, où $z_{0}$ est augmenté 100 fois
\end{itemize}
et donc \textbf{appelée z0\_REFMAR\_cycle1to2}
\end{enumerate}
\item la \textbf{troisième configuration} (\textbf{+}) est \textbf{appelée
z0\_REFMAR\_cycle2}.
\begin{itemize}
\item Pour la zone 6, le calcul ne donne pas un nombre. On prescrit donc
$z_{0}=10^{-8}$.
\end{itemize}
\end{enumerate}
La validation de z0\_REFMAR\_cycle2 est moins bonne que z0\_REFMAR\_cycle1
essentiellement du fait que, au niveau de la zone 4 de Pauillac à
Fort-Médoc, le rapport $\eta_{\textrm{amont}}\eta_{\textrm{aval}}^{-1}$
est faible : seulement 0.972 (figure \ref{f:cal-REFMAR}), ce qui
détériore les résultats de toutes les stations en amont.

On effectue donc un troisième cycle de calibration, pour lequel:
\begin{enumerate}
\item on obtient $\gamma_{1}$ et $\gamma_{2}$ à partir de 2 configurations
déjà effectuée:
\begin{enumerate}
\item la \textbf{première configuration} ($\CIRCLE$) qui est \textbf{z0\_REFMAR\_cycle1to2}
\item et la \textbf{deuxième configuration} ($\RHD$) qui est \textbf{z0\_REFMAR\_cycle2}
\end{enumerate}
\item la \textbf{troisième configuration} (\textbf{+}) est \textbf{appelée
z0\_REFMAR\_cycle3}.
\begin{itemize}
\item Pour la zone 3, le calcul donne $z_{0}=1.4\times10^{-5}$, mais en
anticipant les interaction avec la zone 4, on prescrit la même valeur
que pour z0\_REFMAR\_cycle1, soit $z_{0}=3.4\times10^{-5}$.
\item Pour la zone 6, le calcul donne $z_{0}=1.3\times10^{-15}$. On prescrit
$z_{0}=10^{-8}$.
\item Pour la zone 7, le calcul donne $z_{0}=2.1\times10^{-5}$. Afin de
rattraper le faible rapport $\eta_{\textrm{amont}}\eta_{\textrm{aval}}^{-1}$
de la zone 6, on prescrit $z_{0}=10^{-5}$.
\end{itemize}
\end{enumerate}
Les graphiques des 3 cycles sont sur la figure \ref{f:cal-REFMAR}.
Les tables de validations sont sur le tableau \ref{t:cal-REFMAR}.

\begin{figure}[h]
\begin{centering}
\includegraphics[height=0.22\textheight]{gironde/optimisation-tides/REFMAR/z0_REFMAR_cycle1-report0\lyxdot 890,1\lyxdot 110,5e-09,0\lyxdot 02}
\par\end{centering}
\begin{centering}
cycle 1\\
~
\par\end{centering}
\begin{centering}
\includegraphics[height=0.22\textheight]{gironde/optimisation-tides/REFMAR/z0_REFMAR_cycle2-report0\lyxdot 890,1\lyxdot 110,5e-09,0\lyxdot 02}
\par\end{centering}
\begin{centering}
cycle 2\\
~
\par\end{centering}
\begin{centering}
\includegraphics[height=0.22\textheight]{gironde/optimisation-tides/REFMAR/z0_REFMAR_cycle3-report0\lyxdot 890,1\lyxdot 110,5e-09,0\lyxdot 02}
\par\end{centering}
\begin{centering}
cycle 3
\par\end{centering}
\caption{Graphiques des cycles de calibration avec les analyses des données
REFMAR\label{f:cal-REFMAR}. La légende indique les zones de calibrations.
Cycle 1: la configuration de départ \textbf{z0\_1Em4} ($\CIRCLE$)
a une longueur de rugosité à 0.1~mm pour toutes les zones. La comparaisons
des rapports d'amplitudes d'élévation de part et d'autre des zones
avec les analyses des données REFMAR, dispersées entre 0.94 et 1.09,
montrent un sous-amortissement dans les zones 0, 1, 5 et 8 et un sur-amortissement
dans les autres zones. La longueur de rugosité a été multipliées par
100 dans les zones sous-amorties et divisées par 100 dans les zones
sur-amorties pour donner la configuration \textbf{z0\_REFMAR\_1Em6to1Em2}
($\RHD$). L'interpolation de longueurs de rugosité à partir des longueurs
précédentes pour obtenir des rapports d'élévation optimaux a donné
la configuration \textbf{z0\_REFMAR\_cycle1} (\textbf{+}), dont les
comparaisons des rapports d'amplitudes d'élévation de part et d'autre
des zones avec les analyses des données REFMAR sont sensiblement moins
dispersées: entre 0.98 et 1.01. Cycle 2: les comparaisons des rapports
d'amplitudes avec les données sont un peu moins dispersées: entre
0.99 et 1.005, excepté la zone 4 à 0.97. Un troisième cycle a été
nécessaire pour ramener cette dispersion entre 0.995 et 1.005.}
\end{figure}

\begin{table}[h]
\begin{centering}
\input{gironde/optimisation-tides/REFMAR/z0_REFMAR_cycle1/REFMAR-.tex}
\par\end{centering}
\begin{centering}
cycle 1\\
~
\par\end{centering}
\begin{centering}
\input{gironde/optimisation-tides/REFMAR/z0_REFMAR_cycle2/REFMAR-.tex}
\par\end{centering}
\begin{centering}
cycle 2\\
~
\par\end{centering}
\begin{centering}
\input{gironde/optimisation-tides/REFMAR/z0_REFMAR_cycle3/REFMAR-.tex}
\par\end{centering}
\begin{centering}
cycle 3
\par\end{centering}
\caption{validations des 3 cycles de calibration analytique avec les données
REFMAR\label{t:cal-REFMAR}. L'explication des en-têtes de colonnes
est donnée au tableau \ref{t:NEA-REFMAR}. Dés le premier cycle, on
passe d'une précision pour M2 de 7.1\% et pour S2 de 8.4\% (tableau
\ref{t:z0_1Em4-REFMAR}) à une précision pour M2 de 2.2\% et pour
S2 de 6.0\%. Ce n'est qu'au bout du 3ème cycle que cette précision
a pu n'être que très légèrement améliorée à 1.9\% et 5.6\%.}
\end{table}

Ce premier test donne de bons résultats: dés le premier cycle, on
passe d'une précision pour M2 de 7.1\% à 2.2\% (tableau \ref{t:cal-REFMAR}),
malgré de nombreuses limitations. L'erreur de phase de 1.1° équivaut,
pour une amplitude de 180cm, à une erreur de 35mm. Le gros de la RMS
est donc dû à l'erreur de phase. Pour corriger l'erreur de phase,
il faut corriger la bathymétrie, ce qui est désormais possible avec
les tous derniers développements de TUGOm (\href{https://hg.legos.obs-mip.fr/tugo/rev/51aa1320ea41}{révison du 11 mai})
et est envisagé à une date ultérieure. Les données REFMAR ont aussi
2 défauts. Tout d'abord elles ne couvrent que 8 des 14 zones, de l'embouchure
à Bordeaux, et ne permettent donc pas de calibrer la partie Dordogne
ou la partie Garonne de Bordeaux à La-Réole. De plus, elle ne sont
pas \lyxadded{allain}{Fri Nov 27 12:30:53 2020}{concomitantes}\lyxdeleted{allain}{Fri Nov 27 12:30:53 2020}{concommittantes},
ce qui est un problème important comme expliqué en \ref{s:gauges}.
Il fallait de toute façon tester la sensibilité de la méthode au jeux
de données de validation. Les résultats d'une calibration avec des
données couvrant l'ensemble de la configuration sont présentés en
\ref{s:DGS-2018spring}.

\clearpage{}

\subsection{Calibration avec les analyses des données DREAL, \lyxadded{allain}{Fri Nov 27 12:42:56 2020}{GPMBx}\lyxdeleted{allain}{Fri Nov 27 12:42:56 2020}{GPMBx}
et SHOM de printemps 2018\label{s:DGS-2018spring}}

Il était prévu dés le départ de tester la sensibilité des résultats
au données de validation en effectuant plusieurs tests avec des jeux
de données différents. Un premier test, avec des données légèrement
problématiques — ni \lyxadded{allain}{Fri Nov 27 12:41:18 2020}{concomitante}\lyxdeleted{allain}{Fri Nov 27 12:41:18 2020}{concommitante}
ni sur l'ensemble de la configuration — a donné de bons résultats
présentés en \ref{s:REFMAR}. Des données \lyxadded{allain}{Fri Nov 27 12:30:53 2020}{concomitantes}\lyxdeleted{allain}{Fri Nov 27 12:30:53 2020}{concommittantes}
et couvrant l'ensemble de la configuration ayant finalement été obtenues,
des calibrations avec ces données ont pu être envisagées.

Tant que la convergence de cette méthode itérative n'était pas établie,
les calibrations ont été exclusivement semi-automatisées. Les résultats
d'une première calibration, semi-automatisée, sont présentés en \ref{s:DGS-2018spring-semiAuto}.
Une fois la convergence établie et pour plus d'ergonomie, une deuxième
calibration, pleinement automatisée, a pu être effectuée. Ses résultats
sont présentés en \ref{s:DGS-2018spring-fullAuto}.

\begin{table}[h]
\begin{centering}
\input{gironde/optimisation-tides/z0_1Em4/DREAL+GPMBDx+SHOM-2018-03-01_2018-06-01-.tex}
\par\end{centering}
\caption{validations de la configuration z0\_1Em4 avec les données \lyxadded{allain}{Fri Nov 27 12:42:56 2020}{GPMBx}\lyxdeleted{allain}{Fri Nov 27 12:42:56 2020}{GPMBx}
et DREAL de printemps 2018\label{t:z0_1Em4-DREAL+GPMBDx+SHOM-2018-03-01_2018-06-01}.
L'explication des en-têtes de colonnes est donnée au tableau \ref{t:NEA-REFMAR}.
On note une erreur en amplitude M2 à Bordeaux de 11.6~cm et une RMS{*}
en amplitude de 584~mm.}
\end{table}


\subsubsection{Calibration semi-automatisée\label{s:DGS-2018spring-semiAuto}}

Pour le premier cycle de calibration:
\begin{enumerate}
\item on obtient $\gamma_{1}$ et $\gamma_{2}$ à partir de:
\begin{enumerate}
\item la \textbf{première configuration} ($\CIRCLE$) où $z_{0}=10^{-4}$
dans toutes les zones, et donc \textbf{appelée z0\_1Em4}, et dont
le tableau de validation est le \ref{t:z0_1Em4-DREAL+GPMBDx+SHOM-2018-03-01_2018-06-01}
\item et la \textbf{deuxième configuration} ($\RHD$) où, pour chaque zone,
$z_{0}$ est augmenté ou diminué 100 fois, soit $z_{0}=10^{-2}$ ou
$z_{0}=10^{-6}$, selon que le rapport $\eta_{\textrm{amont}}\eta_{\textrm{aval}}^{-1}$
de la première configuration est respectivement trop haut ou trop
bas par rapport aux observations, et donc \textbf{appelée z0\_DREAL+}\lyxadded{allain}{Fri Nov 27 12:42:56 2020}{\textbf{GPMBx}}\lyxdeleted{allain}{Fri Nov 27 12:42:56 2020}{\textbf{GPMBx}}\textbf{+SHOM-2018-03-01\_2018-06-01\_1Em6to1Em2}
\end{enumerate}
\item la \textbf{troisième configuration} (\textbf{+}) est \textbf{appelée
z0\_DREAL+}\lyxadded{allain}{Fri Nov 27 12:42:56 2020}{\textbf{GPMBx}}\lyxdeleted{allain}{Fri Nov 27 12:42:56 2020}{\textbf{GPMBx}}\textbf{+SHOM-2018-03-01\_2018-06-01\_cycle1}
\begin{itemize}
\item Pour les zones 2 et 3, on a pris $z_{0}=10^{-7}$
\item et pour les zones 11 et 12, on a pris $z_{0}=0.1$
\end{itemize}
\end{enumerate}
Le graphique de ce premier cycle est sur la figure \ref{f:cal1-DREAL+GPMBDx+SHOM-2018-03-01_2018-06-01}.
\begin{figure}[h]
\begin{centering}
\includegraphics[height=0.3\textheight]{gironde/optimisation-tides/z0_DREAL+GPMBDx+SHOM-2018-03-01_2018-06-01_cycle1-report0\lyxdot 500,25\lyxdot 000,5e-08,1e+04}\\
~
\par\end{centering}
\begin{centering}
\includegraphics[height=0.3\textheight]{gironde/optimisation-tides/z0_DREAL+GPMBDx+SHOM-2018-03-01_2018-06-01_cycle1-report0\lyxdot 900,1\lyxdot 500,5e-08,0\lyxdot 03}
\par\end{centering}
\centering{}\caption{Graphique du cycle 1 de calibration semi-automatisée avec les analyses
des données DREAL, \lyxadded{allain}{Fri Nov 27 12:42:56 2020}{GPMBx}\lyxdeleted{allain}{Fri Nov 27 12:42:56 2020}{GPMBx}
et SHOM de printemps 2018: vue générale (en haut) et son zoom (en
bas). Les zones: 9-10 et 13-14 sont superposées. \label{f:cal1-DREAL+GPMBDx+SHOM-2018-03-01_2018-06-01}}
\end{figure}
Il y a clairement un problème au niveau des parties hautes (Garonne
et Dordogne) de l'estuaire, peut-être du à des erreurs de grilles
et de bathymétrie comme des seuils non pris en compte.

Pour le deuxième cycle de calibration:
\begin{enumerate}
\item on obtient $\gamma_{1}$ et $\gamma_{2}$ à partir de:
\begin{enumerate}
\item la \textbf{première configuration} ($\CIRCLE$) qui est \textbf{z0\_DREAL+}\lyxadded{allain}{Fri Nov 27 12:42:56 2020}{\textbf{GPMBx}}\lyxdeleted{allain}{Fri Nov 27 12:42:56 2020}{\textbf{GPMBx}}\textbf{+SHOM-2018-03-01\_2018-06-01\_cycle1}
\item et la \textbf{deuxième configuration} ($\RHD$) où, pour chaque zone,
$z_{0}$ est augmenté ou diminué 10 fois selon que le rapport $\eta_{\textrm{amont}}\eta_{\textrm{aval}}^{-1}$
de la première configuration est respectivement trop haut ou trop
bas par rapport aux observations REFMAR,
\begin{itemize}
\item sauf pour les zones 2, 4 et 6, où $z_{0}$ est augmenté 100 fois
\end{itemize}
et donc \textbf{appelée z0\_DREAL+}\lyxadded{allain}{Fri Nov 27 12:42:56 2020}{\textbf{GPMBx}}\lyxdeleted{allain}{Fri Nov 27 12:42:56 2020}{\textbf{GPMBx}}\textbf{+SHOM-2018-03-01\_2018-06-01\_cycle1to2}
\end{enumerate}
\item la \textbf{troisième configuration} (\textbf{+}) est \textbf{appelée
z0\_DREAL+}\lyxadded{allain}{Fri Nov 27 12:42:56 2020}{\textbf{GPMBx}}\lyxdeleted{allain}{Fri Nov 27 12:42:56 2020}{\textbf{GPMBx}}\textbf{+SHOM-2018-03-01\_2018-06-01\_cycle2}
\begin{itemize}
\item Pour la zone 2, on a pris $z_{0}=10^{-8}$
\end{itemize}
\end{enumerate}
Le graphique de ce deuxième cycle est sur la figure \ref{f:cal-DREAL+GPMBDx+SHOM-2018-03-01_2018-06-01}.

\begin{figure}[h]
\begin{centering}
\includegraphics[height=0.3\textheight]{gironde/optimisation-tides/z0_DREAL+GPMBDx+SHOM-2018-03-01_2018-06-01_cycle2-report0\lyxdot 800,9\lyxdot 000,3e-10,3}\\
~
\par\end{centering}
\begin{centering}
\includegraphics[height=0.3\textheight]{gironde/optimisation-tides/z0_DREAL+GPMBDx+SHOM-2018-03-01_2018-06-01_cycle2-report0\lyxdot 850,1\lyxdot 400,3e-10,0\lyxdot 1}\\
~
\par\end{centering}
\centering{}\includegraphics[height=0.3\textheight]{gironde/optimisation-tides/z0_DREAL+GPMBDx+SHOM-2018-03-01_2018-06-01_cycle2-report0\lyxdot 960,1\lyxdot 100,3e-10,0\lyxdot 02}\caption{Graphique du cycle 2 de calibration semi-automatisée avec les analyses
des données DREAL, \lyxadded{allain}{Fri Nov 27 12:42:56 2020}{GPMBx}\lyxdeleted{allain}{Fri Nov 27 12:42:56 2020}{GPMBx}
et SHOM de printemps 2018: vue générale (en haut) et ses 2 zoom (au
milieu et en bas). Les zones: 9-10 et 13-14 sont superposées.\label{f:cal-DREAL+GPMBDx+SHOM-2018-03-01_2018-06-01}}
\end{figure}

Les tables de validations des 2 cycles sont sur le tableau \ref{t:cal2-DREAL+GPMBDx+SHOM-2018-03-01_2018-06-01}.

\begin{table}[h]
\begin{centering}
\input{gironde/optimisation-tides/z0_DREAL+GPMBDx+SHOM-2018-03-01_2018-06-01_cycle1/DREAL+GPMBDx+SHOM-2018-03-01_2018-06-01-.tex}
\par\end{centering}
\begin{centering}
cycle 1\\
~
\par\end{centering}
\begin{centering}
\input{gironde/optimisation-tides/z0_DREAL+GPMBDx+SHOM-2018-03-01_2018-06-01_cycle2/DREAL+GPMBDx+SHOM-2018-03-01_2018-06-01-.tex}
\par\end{centering}
\begin{centering}
cycle 2
\par\end{centering}
\caption{validations des 2 cycles de calibration analytique semi-automatisée
avec les données DREAL, \lyxadded{allain}{Fri Nov 27 12:42:56 2020}{GPMBx}\lyxdeleted{allain}{Fri Nov 27 12:42:56 2020}{GPMBx}
et SHOM de printemps 2018\label{t:cal2-DREAL+GPMBDx+SHOM-2018-03-01_2018-06-01}.
L'explication des en-têtes de colonnes est donnée au tableau \ref{t:NEA-REFMAR}.
On passe d'une précision en amplitude M2 à Bordeaux de 11.6~cm (tableau
\ref{t:z0_1Em4-DREAL+GPMBDx+SHOM-2018-03-01_2018-06-01}) à une précision
de 2.21~cm au cycle 1 à 0.9~cm au cycle 2. On passe aussi d'une
RMS{*} en amplitude de 584~mm à 248~mm au cycle 1 à 109~mm au cycle
2. Pour la calibration pleinement automatisée, voir le tableau \ref{t:cal2-DREAL+GPMBDx+SHOM-2018-03-01_2018-06-01}.}
\end{table}

Avec moins de difficultés, les résultats avec les DREAL, \lyxadded{allain}{Fri Nov 27 12:42:56 2020}{GPMBx}\lyxdeleted{allain}{Fri Nov 27 12:42:56 2020}{GPMBx}
et SHOM de printemps 2018 (tableau \ref{t:cal2-DREAL+GPMBDx+SHOM-2018-03-01_2018-06-01})
sont encore meilleurs qu'avec les données REFMAR (voir \ref{s:REFMAR}
et tableau \ref{t:cal-REFMAR}). Cependant, si il faut plusieurs cycles
ou si il faut gérer des modélisations longues, il faut que la calibration
soit entièrement automatisée. Les détails de cette automatisation
seront présentés avec des résultats en \ref{s:DGS-2018spring-fullAuto}.

\clearpage{}

\subsubsection{Calibration pleinement automatisée\label{s:DGS-2018spring-fullAuto}}

Avant de mettre en place la pleine automatisation de la calibration,
il a fallu établir la convergence de cette méthode. Cela a été fait
avec 2 calibrations présentées en \ref{s:REFMAR} et en \ref{s:DGS-2018spring-semiAuto}.
Lors de ces calibrations, des problèmes ont été identifiés avec la
démarche de calibration analytique semi-automatisée:
\begin{enumerate}
\item à chaque cycles, il est nécessaire de corriger les valeurs aberrantes
de z0
\item les sauts de valeurs importants dans une zone déstabilisent la calibration
dans les zones voisines
\item ajuster aussi la bathymétrie va augmenter le nombre de cycles de calibration
nécessaires
\item pour prendre en compte les variations de débit à la limite amont,
il faut travailler sur des configurations séquentielles mais dans
le cas de configurations séquentielles, les 3 modélisations des cycles
peuvent être très longues
\end{enumerate}
Pour automatiser la calibration, il faut éviter les valeurs aberrantes
de z0. Dans ce but on contraint les valeurs de z0 avec les valeur
de la première et de la deuxième configuration. Ceci a pour effet
de ralentir la progression du z0 vers sa cible mais permet aussi d'éviter
les sauts de valeur trop importants dans les zones voisines, ce qui
pourrait perturber la convergence de la calibration d'une zone. Cette
automatisation a permis d'obtenir les résultats suivants.

Les tables de validations des cycles de la calibration pleinement
automatisée sont sur les tableaux \ref{t:autocal1-DREAL+GPMBDx+SHOM-2018-03-01_2018-06-01}
et \ref{t:autocal2-DREAL+GPMBDx+SHOM-2018-03-01_2018-06-01}.

\begin{table}[h]
\begin{centering}
\input{gironde/optimisation-tides/DREAL+GPMBDx+SHOM-2018-03-01_2018-06-01/cycle0/validate-.tex}
\par\end{centering}
\begin{centering}
configuration initiale\\
~
\par\end{centering}
\begin{centering}
\input{gironde/optimisation-tides/DREAL+GPMBDx+SHOM-2018-03-01_2018-06-01/cycle1/validate-.tex}
\par\end{centering}
\begin{centering}
cycle 1
\par\end{centering}
\caption{validations de la configuration initiale et du cycle 1 de calibration
pleinement automatisée avec les analyses des données DREAL, \lyxadded{allain}{Fri Nov 27 12:42:56 2020}{GPMBx}\lyxdeleted{allain}{Fri Nov 27 12:42:56 2020}{GPMBx}
et SHOM de printemps 2018\label{t:autocal1-DREAL+GPMBDx+SHOM-2018-03-01_2018-06-01}.
L'explication des en-têtes de colonnes est donnée au tableau \ref{t:NEA-REFMAR}.
On passe d'une erreur en amplitude de 447~mm à 197~mm au cycle 1.}
\end{table}

\begin{table}[h]
\begin{centering}
\input{gironde/optimisation-tides/DREAL+GPMBDx+SHOM-2018-03-01_2018-06-01/cycle2/validate-.tex}
\par\end{centering}
\begin{centering}
cycle 2\\
~
\par\end{centering}
\begin{centering}
\input{gironde/optimisation-tides/DREAL+GPMBDx+SHOM-2018-03-01_2018-06-01/cycle3/validate-.tex}
\par\end{centering}
\begin{centering}
cycle 3
\par\end{centering}
\caption{validations des cycles 2 et 3 de calibration pleinement automatisée
avec les analyses des données DREAL, \lyxadded{allain}{Fri Nov 27 12:42:56 2020}{GPMBx}\lyxdeleted{allain}{Fri Nov 27 12:42:56 2020}{GPMBx}
et SHOM de printemps 2018\label{t:autocal2-DREAL+GPMBDx+SHOM-2018-03-01_2018-06-01}.
L'explication des en-têtes de colonnes est donnée au tableau \ref{t:NEA-REFMAR}.
Pour la calibration semi-automatisée, voir le tableau \ref{t:cal2-DREAL+GPMBDx+SHOM-2018-03-01_2018-06-01}.
On passe d'une erreur en amplitude de 197~mm à 116~mm au cycle 2
et à 31~mm au cycle 3.}
\end{table}

\clearpage{}

\subsection{Comparaisons des résultats\label{s:semiAuto-vs-fullAuto}}

\begin{table}[h]
\begin{centering}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline 
données & SHOM & SHOM & SHOM & printemps 2018 & printemps 2018\tabularnewline
\hline 
méthode & initiale & empirique & semi-automatisée & semi-automatisée & pleinement automatisée\tabularnewline
\hline 
essais & 1 & 10 & 7 & 5 & 7\tabularnewline
\hline 
zone↓ tableau→ & \ref{t:gironde-z0} & \ref{t:gironde-z0-v10} & \ref{t:cal-REFMAR} & \ref{t:cal2-DREAL+GPMBDx+SHOM-2018-03-01_2018-06-01} & \ref{t:autocal2-DREAL+GPMBDx+SHOM-2018-03-01_2018-06-01}\tabularnewline
\hline 
\hline 
0 & 1e-3 & 1e-3 & 0.00763 & 0.007139 & 0.006919\tabularnewline
\hline 
1 & 1e-4 & 5e-4 & 0.0007552 & 0.001343 & 0.001009\tabularnewline
\hline 
2 & 1e-4 & 1e-5 & 1.221e-07 & 1e-09 & 3.162e-07\tabularnewline
\hline 
3 & 1e-4 & 1e-5 & 3.439e-05 & 1e-05 & 9.907e-06\tabularnewline
\hline 
4 & 1e-4 & 1e-5 & 8.348e-06 & 0.0001394 & 0.0002152\tabularnewline
\hline 
5 & 5e-5 & 1e-5 & 0.0004908 & 0.005119 & 0.01458\tabularnewline
\hline 
6 & 5e-5 & 1e-5 & 1e-08 & 0.0001201 & 0.0001977\tabularnewline
\hline 
7 & 5e-5 & 1e-5 & 1e-05 & 0.001513 & 0.001718\tabularnewline
\hline 
8 & 5e-5 & 1e-5 & 0.0002828 & 0.006811 & 0.008362\tabularnewline
\hline 
9 &  &  &  & 0.01008 & 0.01979\tabularnewline
\hline 
10 &  &  &  & 0.01008 & 0.01979\tabularnewline
\hline 
11 &  &  &  & 1.999 & 3.162\tabularnewline
\hline 
12 &  &  &  & 1.525 & 3.162\tabularnewline
\hline 
13 &  &  &  & 1.525 & 3.162\tabularnewline
\hline 
14 &  &  &  & 0.2878 & 0.841\tabularnewline
\hline 
15 &  &  &  & 0.2878 & 0.841\tabularnewline
\hline 
\end{tabular}
\par\end{centering}
\caption{Comparaison des longueurs de rugosité\label{t:z0s}. Elles sont données
en mètre. Les données du SHOM ne couvrant que jusqu'à la zone 8, les
longueurs de rugosité au-delà n'ont pas été reportées dans ce tableau.
Pour la configuration pleinement automatisée, les valeurs de la zone
2 est en saturation basse et les valeurs des zones 11, 12 et 13 sont
en saturation haute. Les différences supérieures à un facteur 2 entre
les configurations suivant les données de printemps 2018 peuvent s'expliquer
par les faits suivants : le frottement est très faible dans la zone
2, les zones 4 et 5 sont à proximité des zones 14 et 15, difficiles
à calibrer, et les zones 11 à 15 sont en aval de marégraphes à très
faible amplitude, donc \lyxadded{allain}{Fri Nov 27 12:41:33 2020}{difficile}\lyxdeleted{allain}{Fri Nov 27 12:41:33 2020}{difficle}
à calibrer. Les différences supérieures à un facteur 2 entre les configurations
semi-automatisée peuvent aussi s'expliquer par les différences entre
les observations: une plus forte rugosité avec les données SHOM dans
la zone 3 s'explique par une augmentation d'amplitude de 4.5\% de
Lamena à Pauillac par rapport à une augmentation de 6.5\% dans le
cadre des données de printemps 2018. Inversement, une plus faible
rugosité avec les données SHOM dans les zones 4, 5, 6, 7 et 8 s'explique
de manière similaire, comme dans la zone 4 de Pauillac à Fort-Médoc
avec une augmentation d'amplitude de 4.2\% avec les données SHOM par
rapport à une augmentation de 1.4\% avec les données de printemps
2018.}
\end{table}

En prenant en compte que les conditions initiales ne sont pas les
mêmes et que la calibration automatisées se doit de progresser de
manière plus lente que la calibration semi-automatisée, on remarquera
que la diminution de la RMS de l'erreur en amplitude est autour d'un
facteur 2 pour les 2 premier cycles avec les 2 méthodes, semi-automatisée
et automatisée. Comme montré au tableau \ref{t:z0s}, les paramètres
obtenus au cours de la calibration dépendent aussi fortement des données
de validation.

\section{Conclusion\label{s:Gironde-conclusion}}

\subsection{Portage de l'outil de calibration analytique vers d'autres modèles}

La calibration automatique utilise tides-validate, qui fonctionne
sur les analyses harmonique des sorties de tous les modèles, pour
produire une validation. Si le modèle ne peut pas produire ses propres
analyses, les analyses peuvent être produites par comodo-detidor,
qui fonctionne sur les sorties NetCDF de tous les modèles.

Adapter l'outil au modèle ne demande que de modifier 2 à 3 lignes
de code dans le modèle de script de lancement et de validation d'une
configuration. Il reste à adapter le modèle aux instructions de zonages,
ce qui pourra être fait avec un exécutable externe qui produira un
raster ou éventuellement avec une librairie.

\subsection{Comparaison des méthodes de calibration\label{s:Gironde-cal-comp}}

3 configurations ont été validées avec le même jeu de marégraphes
REFMAR. Leurs descriptions, tableaux de validations et RMS{*} pour
l'onde M2 sont:
\begin{itemize}
\item initiale, \lyxadded{allain}{Fri Nov 27 12:34:39 2020}{a priori}\lyxdeleted{allain}{Fri Nov 27 12:34:39 2020}{apriori}
avant calibration, tableau \ref{t:gironde-z0}: 139.1~mm
\item empirique, au bout de 10 essais, tableau \ref{t:gironde-z0-v10}:
70.9~mm
\item analytique spectrale, 3ème cycle — soit au bout de 7 essais, tableau
\ref{t:cal-REFMAR}: 36.5~mm
\end{itemize}
La forte diminution de l'erreur en amplitude, à peu près d'un facteur
2 à chaque cycle, implique une diminution de la RMS{*} de l'erreur
totale, même si cette diminution de l'erreur en amplitude se fait
au détriment d'une certaine augmentation de l'erreur de phase. Cette
erreur de phase est sûrement aussi due au fait que TUGOm ne prend
pas en compte l'advection de l'onde de marée par le flux moyen de
la rivière en mode spectral. Il est prévu de faire le \lyxadded{allain}{Fri Nov 27 12:42:21 2020}{séquentiel}\lyxdeleted{allain}{Fri Nov 27 12:42:21 2020}{sequentiel}
à une date ultérieure, comme expliqué en \ref{s:next}.

\subsection{À envisager\label{s:next}}

En l'état actuel, la méthode de calibration analytique diminue fortement
l'erreur en amplitude au détriment d'une certaine augmentation de
l'erreur de phase. Cette erreur de phase est sûrement aussi due au
mode spectral. Aussi parce que c'est plus simple avec l'automatisation
de la calibration, il est désormais envisagé de calibrer avec le mode
séquentiel. L'erreur de phase doit aussi être corrigée en ajustant
la bathymétrie. Cet ajustement demandera des cycles supplémentaires,
ce que permet aussi l'automatisation et qui est donc aussi envisagé.

Comme le montre la couverture des observations, certaines sections
sont bien pourvues en marégraphes, mais d'autres moins. Il est prévu
d'essayer de comparer les calibrations en enlevant un marégraphe.

\chapter{Étude numérique de l'estuaire amont\label{s:amont}}

\rhead{\nameref{s:amont}}

\section{Contexte et objectifs}

Dans cette partie se trouve l'ensemble des résultats liés aux activités
de simulation des débits et de la hauteur d'eau dans l'estuaire de
la Gironde, à la fois en terme de sensibilité en se basant sur des
simulations académiques, et de réalisme et précision de la configuration
numérique en se basant sur des simulations correspondant à des périodes
sur lesquelles nous disposons d'observations, essentiellement marégraphiques.

Les simulations sont basées sur la configuration Gironde initialement
calibrée avec la version spectrale de T-UGOm (SP), validée sur une
simulation time-stepping (TS) et wetting-drying (WD) en 2017. \lyxdeleted{allain}{Fri Nov 27 11:49:45 2020}{La
grille non structurée, la bathymétrie associée et les forçages ont
déjà été présentés dans la section X. }La configuration est subdivisée
en différentes sections allant de la façade de l'Atlantique à Pessac\lyxdeleted{allain}{Fri Nov 27 11:50:48 2020}{
}\lyxadded{allain}{Fri Nov 27 11:50:48 2020}{-}sur\lyxdeleted{allain}{Fri Nov 27 11:50:46 2020}{
}\lyxadded{allain}{Fri Nov 27 11:50:46 2020}{-}\lyxdeleted{allain}{Fri Nov 27 11:50:46 2020}{la
}Dordogne et La Réole sur la Garonne (figure \ref{f:z0}). Ces dernières
stations constituent les conditions aux limites fluviales, où on impose
l'élévation du fleuve et non son débit, et où on a supposé que la
marée n'était plus sensible. Ce point sera discuté ultérieurement.
L'emplacement des sections sert à la fois à fixer des paramètres du
modèle (comme la rugosité) et a été positionné pour définir des portions
de domaine encadrées par le réseau de marégraphes disponible (distribué
par le Grand Port Maritime de Bordeaux, \lyxadded{allain}{Fri Nov 27 12:42:56 2020}{GPMBx}\lyxdeleted{allain}{Fri Nov 27 12:42:56 2020}{GPMBX},
et la DREAL).

Le modèle forçant sur la façade Atlantique est NEA-2019 ( North East
Atlantic), ce dernier améliore le réalisme des simulations (voir chapitre
\ref{s:NEA}). Le modèle est plus forcé à ses limites par les élévations
observées de la Dordogne à Pessac-sur-Dordogne et de la Garonne à
La Réole. A ces deux stations hydrologiques, l'influence de la marée
sur la hauteur fluviale est très réduite. Le forçage atmosphérique
est prescrit via les formules Bulk, le vent à 10m et la pression atmosphérique
à 1h nécessaires sont issus de la réanalyse ERA 5. A partir de cette
configuration, nous avons conduit des simulations dites “académiques”
et des simulations dites “réalistes”.

\section{Études de sensibilité (simulation académique)}

La marée et l'écoulement fluvial interagissent dans l'estuaire, et
ces interactions sont modulées par l'importance du débit de la Garonne
et/ou de la Dordogne. Les effets dynamiques de cette interaction se
concentrent principalement dans la partie amont de l'estuaire, où
le courant dû à l'écoulement fluvial devient comparable à celui généré
par la marée et où les variations de hauteur de la surface fluviale
sous l'effet des variations de débit dépasse significativement 10
centimètres (et pouvant bien sûr atteindre plusieurs mètres dans les
parties les plus amont en cas de crue ou d'étiage sévères).

L'étude quantitative de ces interactions dans un mode réaliste (c'est-à-dire
en condition réelle de débit et de marée) est singulièrement complexifiée
par les échelles de temps relativement courtes de variations de ces
paramètres. Nous avons donc fait le choix de les étudier dans un premier
au travers de simulations académiques dans lesquelles on limite à
dessein la variabilité intrinsèque du système estuarien. Ces études
académiques ont été conçues afin de comprendre la réponse des branches
de la Dordogne et de la Garonne (en amont avant la confluence au Bec
d'Ambes) par rapport aux différents régimes de débit à Pessac et La
Réole. Pour des raisons d'efficacité, seule la section Garonne a fait
l'objet d'investigation, et les résultats sont analysés sur les sections
du modèle allant de Bordeaux, Cadillac et Langon jusqu'à La Réole.

Dans ces simulations académiques, seule la composante M2 de la marée
est utilisée pour forcer le modèle à sa frontière ouverte côtière,
afin en particulier d'éviter de reproduire les cycles de mortes eaux/vives
eaux. L'élévation fluviale prescrite à La Réole est maintenue constante
sur la durée des simulations, et l'échantillonnage des élévations,
courants et débit à l'issue d'une période d'ajustement de 10 jours~;

Les observations à Pessac et La Réole sont présentées ci-dessous pour
l'année 2018. En période de crue le niveau d'eau peut atteindre 14
m à La Réole (figure \ref{f:LaReole}) et 10 m à Pessac (figure \ref{f:Pessac}),
en étiage les valeurs minimales sont respectivement de 4.5 et 3.5
m respectivement. Le niveau d'eau moyen pour l'année 2018 se situe
autour de 7 m à La Réole et 4 m à Pessac. Il est question dans nos
expériences de sélectionner des valeurs de hauteurs d'eaux sur les
courbes des figures \ref{f:LaReole} et \ref{f:Pessac} et de les
prescrire au modèle. Six tests ont été faits, les trois premiers avec
respectivement les élévations maximale (en période de crue), minimale
(en période d'étiage) et moyenne. L'impact de l'élévation à Pessac
s'étant révélés moins importants, les trois dernières expériences
ont été conduites en y fixant l'élévation égale à sa valeur moyenne
et en choisissant des valeurs intermédiaires entre le maximum et le
minimum à La Réole. Le tableau \ref{t:amont} récapitule les valeurs
d'élévations utilisées selon le cas.

\begin{figure}[H]
\includegraphics[width=1\textwidth]{media/image3}\caption{Courbe d'élévation (en mètres, référence IGN69) sur l'année 2018 à
La-Réole (en noir). La moyenne et les valeurs d'élévations pour les
différents cas sont également indiquées.\label{f:LaReole}}

\end{figure}

\begin{figure}[H]
\includegraphics[width=1\textwidth]{media/image4}

\caption{Courbe d'élévation (en mètres, référence IGN69) sur l'année 2018 à
Pessac (en noir). La moyenne et les valeurs d'élévations pour les
différents cas sont également indiquées.\label{f:Pessac}}
\end{figure}

\begin{table}[H]
\begin{longtable}[c]{|@{}l|c|l@{}|}
\hline 
 & Dordogne (Pessac) & Garonne (La-Réole)\tabularnewline
\hline 
Cas 1 (maximum, crue) & 10.26 & 14.262\tabularnewline
\hline 
Cas 2 (moyenne) & 4.85 & 7.1\tabularnewline
\hline 
cas 3 (minimum, étiage) & 3.45 & 4.56\tabularnewline
\hline 
cas 4 & 4.85 & 8.5\tabularnewline
\hline 
cas 5 & 4.85 & 10\tabularnewline
\hline 
cas 6 & 4.85 & 6.4\tabularnewline
\hline 
\end{longtable}

\caption{Récapitulatif des valeurs des élévations constantes fixées aux frontières
amont fluviales de la configuration Gironde pour chaque cas test.\label{t:amont}}
\end{table}

Les réponses du fleuve en termes d'élévation et de courant (zonaux
et méridiens) ont été analysées sur la Garonne à Bordeaux, Cadillac
et Langon où l'influence de la marée est minime. Sur les figures \ref{f:eta}
(élévation), \ref{f:u} (courant zonal) et \ref{f:v} (courant méridien),
le code de couleur utilisé pour différencier les cas sont le bleu
pour le cas 1 (C1), orange (C2), vert (C3), rouge (C4), violet (C5)
et marron (C6).

De façon générale, le niveau moyen de l'eau en amont (Langon, Cadillac
et Bordeaux) croît avec celui à La Réole (figure \ref{f:eta}). Sur
24h, le niveau maximum de l'eau à Langon et Cadillac reste relativement
stable entre les cas 2 à 6. Au contraire, le niveau minimum décroît
avec le niveau imposé à La Réole et donne lieu à un écart maximum-minimum
sur une journée qui est plus grand en période d'étiage. L'écart est
encore plus faible pour le cas C1 qui se distingue des autres par
ces valeurs élevées d'élévations. \lyxdeleted{allain}{Fri Nov 27 11:05:08 2020}{Ceci
voudrait dire que les eaux ont tendance à stagner à Langon et Cadillac
lorsqu'il est élevé à La Réole (phrase à vérifier). }A Bordeaux l'on
observe moins de différences entres les cas 2 à 6, C1 n'influence
pas la valeur maximale d'élévations mais bien la valeur minimale et
par conséquent l'écart maximum-minimum qui devient plus petit.

Les impacts du changement d'élévations à La Réole se ressentent sur
le courant davantage à Cadillac et Langon qu'à Bordeaux (figures \ref{f:u}
et \ref{f:v}). En plus de l'intensité qui changent d'un cas à l'autre,
on note des changements progressifs du sens de propagation des dits
courants. Orienté vers le sud pour des valeurs faibles d'élévations
à La Réole, le courant méridien dévie vers le nord pour des élévations
plus fortes à La Réole. Le courant zonal lui passe d'une orientation
ouest (en période de crue) pour une orientation vers l'est (en étiage).
Comme à la figure \ref{f:u}, l'écart d'intensité entre les pics d'intensité
de courants en marée haute (maximum) et marée basse (minimum) décroît
avec l'élévation à La Réole.

\begin{figure}[H]
\includegraphics[width=1\textwidth]{media/image5}

\caption{Les élévations (m) à différentes stations en fonctions du cas test.\label{f:eta}}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
\includegraphics[width=1\textwidth]{media/image6}

\caption{Le courant zonal (m/s) à différentes stations en fonctions du cas
test.\label{f:u}}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
\includegraphics[width=1\textwidth]{media/image7}

\caption{Le courant méridien (m/s) à différentes stations en fonctions du cas
test.\label{f:v}}
\end{figure}


\section{Calibration amont de la configuration Gironde}

Après les tests de sensibilité dans le cas académique, nous avons
mené des expériences de calibration dans l'objectif de simuler au
mieux le débit, l'élévation et le cycle de marée à chacune des sections
précédentes (Bordeaux, Cadillac et Langon) en amont de La Réole. Les
simulations sont en mode réaliste, c'est-à-dire que le modèle est
maintenant forcé par les toutes les composantes de la marée et la
surcote (frontière ouverte côtière) et par les élévations mesurées
aux limites ouvertes amont (Pessac et La Réole).

Les expériences consistent à ajuster principalement trois paramètres:
la rugosité (en abrégé R dans les figures et tableaux), le seuil de
bathymétrie (B, qui détermine la hauteur maximum du lit de la rivière
par rapport au géoïde de référence) et l'offset de la bathymétrie
(F, permettant de moduler localement la position du lit) aux sections
où le besoin se fait ressentir afin que le débit et l'élévation simulées
se rapprochent au mieux des observations.

Les valeurs des paramètres B, F et R sont données aux tableaux \ref{t:B},
\ref{t:F} et \ref{t:R}. Trois seuils de bathymétrie sont testés:
le moins profond (-2 m), le moyen (-3 m) et le plus profond (-4 m).
Les tableaux \ref{t:F} et \ref{t:R} sont construits suivant le même
principe. Les noms des 14 sections sur la Garonne sont répertoriées
à la première colonne. La colonne 00 est constituée des valeurs observées
ou réelles des paramètres. Dans les colonnes suivantes, seules les
valeurs différentes de la colonne 00 sont indiquées. Les colonnes
00 et suivantes constituent des cas tests dont nous faisons référence
à partir de l'initial du paramètre et d'un numéro partant de 00 (le
cas initial ou réel) à 02 (pour F et B) ou 15 (pour R). Par exemple
R04, B01 et F00 désignent respectivement pour R le cas 4 soit la colonne
6 du tableau \ref{t:R}, pour B le cas 1 (colonne 3 du tableau \ref{t:B})
et pour F le cas 0 c'est à dire la colonne 2 du tableau \ref{t:F}.
La nomenclature des courbes et des expériences est une fusion des
triplettes des cas tests comme dans les exemples R00\_B00\_F00, R03\_B01\_F02
désignant une première expérience avec R00, B00 et F00 et une seconde
expérience dans les conditions R03, B01 et F02. L'expérience R00\_B00\_F00
(courbe bleue dans les figures) menée dans les conditions initiales
des trois paramètres est la plus réaliste de toutes, elle donne déjà
une idée sur la capacité du modèle et oriente sur l'ajustement à mener.

Les simulations ont été conduites sur la période du 01/01/2016 au
07/03/2017 sur laquelle nous disposons de débits estimés à La Réole
par la DREAL. Les sorties du modèle sont fournies toutes les 10 minutes.
Au bout d'une dizaine de jours, le modèle est déjà bien calé sur les
observations (figure \ref{f:R00_B00_F00-LaReole}). La stratégie de
modélisation se décline en deux étapes: calibration du modèle à La
Réole et la validation aux niveaux des sections en amont. La calibration
des 3 paramètres n'est pas indépendante, et nécessite généralement
de tester des triplets à chaque phase de calibration.

\begin{table}[H]
\begin{centering}
\begin{tabular}{|l|l|l@{}|}
\hline 
B00 & B01 & B02\tabularnewline
\hline 
-2 m & -3 m & -4 m\tabularnewline
\hline 
\end{tabular}
\par\end{centering}
\caption{Tableau récapitulatif des valeurs du seuil de la bathymétrie pour
les différents cas tests\label{t:B}}
\end{table}

\begin{table}[H]
\begin{centering}
\begin{tabular}{|@{}l|l|l|l@{}|}
\hline 
stations / Sections & F00 & F01 & F02\tabularnewline
\hline 
1- Embouchure - Port-bloc & 0 & - & -\tabularnewline
\hline 
2- Port-bloc - Richard & 0 & - & -\tabularnewline
\hline 
3-Lamena & 0 & - & -\tabularnewline
\hline 
4-Trompeloup & 0 & - & -\tabularnewline
\hline 
5-Fort-médoc & 0 & - & -\tabularnewline
\hline 
6-Ambes & 0 & - & -\tabularnewline
\hline 
7-Le-marquis & 0 & - & -\tabularnewline
\hline 
8-Bassens & 0 & - & -\tabularnewline
\hline 
9-Bordeaux & 0 & - & -\tabularnewline
\hline 
10-intermediary & 0 & - & -0.5\tabularnewline
\hline 
11- Intermediary - Cadillac & 0.5 & -0.5 & -1\tabularnewline
\hline 
12- Cadillac - Langon & 1 & -1 & -2\tabularnewline
\hline 
13- Langon - Castet/Dorthe & 2 & -2 & -3\tabularnewline
\hline 
14- Castet/Dorthe - La \lyxdeleted{allain}{Fri Nov 27 12:31:37 2020}{Reole}\lyxadded{allain}{Fri Nov 27 12:31:37 2020}{Réole} & 0 & - & -\tabularnewline
\hline 
\end{tabular}
\par\end{centering}
\caption{Tableau récapitulatif des valeurs de l'offset de la bathymétrie (en
m) pour les différents cas tests.\label{t:F}}
\end{table}

\begin{table}[H]
\begin{tabular}{|@{}l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l@{}|}
\hline 
sections & R00 & R01 & R02 & R03 & R04 & R05 & R06 & R07 & R08 & R09 & R10 & R11\tabularnewline
\hline 
1- Embouchure - Port-bloc & 1.0e-03 & - & - & - & - & - & - & - & - & - & - & -\tabularnewline
\hline 
2- Port-bloc - Richard & 5.0e-04 & - & - & - & - & - & - & - & - & - & - & -\tabularnewline
\hline 
3-Lamena & 1.e-05 & - & - & - & - & - & - & - & - & - & - & -\tabularnewline
\hline 
4-Trompeloup & 1.e-05 & - & - & - & - & - & - & - & - & - & - & -\tabularnewline
\hline 
5-Fort-médoc & 1.e-05 & - & - & - & - & - & - & - & - & - & - & -\tabularnewline
\hline 
6-Ambes & 1.e-05 & - & - & - & - & - & - & - & - & - & - & -\tabularnewline
\hline 
7-Le-marquis & 1.e-05 & - & - & - & - & - & - & - & - & - & - & -\tabularnewline
\hline 
8-Bassens & 1.e-05 & - & - & - & - & - & - & - & - & - & - & -\tabularnewline
\hline 
9-Bordeaux & 1.e-05 & - & - & - & - & - & - & - & - & - & - & -\tabularnewline
\hline 
10-intermediary & 1.e-05 & - & - & - & - & - & 5e-3 & 1e-4 & 1e-4 & 1e-4 & 1e-4 & 1e-4\tabularnewline
\hline 
11- Intermediary - Cadillac & 1.e-05 & - & - & - & - & - & 5e-3 & 5e-3 & 1e-4 & 5e-4 & 1e-3 & 1e-3\tabularnewline
\hline 
12- Cadillac - Langon & 1.e-05 & - & - & - & 5e-3 & - & 5e-3 & 5e-3 & 5e-3 & 5e-3 & 5e-3 & 7.5e-3\tabularnewline
\hline 
13- Langon - Castet/Dorthe & 1.e-04 & - & 1e-3 & - & 5e-3 & - & 5e-3 & 5e-3 & 5e-3 & 5e-3 & 5e-3 & 5e-3\tabularnewline
\hline 
14- Castet/Dorthe - La \lyxdeleted{allain}{Fri Nov 27 12:31:38 2020}{Reole}\lyxadded{allain}{Fri Nov 27 12:31:38 2020}{Réole} & 5.e-04 & 1e-3 & 1e-3 & 1e-2 & 5e-3 & 5e-3 & 5e-3 & 5e-3 & 5e-3 & 5e-3 & 5e-3 & 5e-3\tabularnewline
\hline 
\end{tabular}

\begin{tabular}{|@{}l|l|l|l|l@{}|}
\hline 
section & R12 & R13 & R14 & R15\tabularnewline
\hline 
1- Embouchure - Port-bloc & - & - & - & -\tabularnewline
\hline 
2- Port-bloc - Richard & - & - & - & -\tabularnewline
\hline 
3-Lamena & - & - & - & -\tabularnewline
\hline 
4-Trompeloup & - & - & - & -\tabularnewline
\hline 
5-Fort-médoc & - & - & - & -\tabularnewline
\hline 
6-Ambes & - & - & - & -\tabularnewline
\hline 
7-Le-marquis & - & - & - & -\tabularnewline
\hline 
8-Bassens & - & - & - & -\tabularnewline
\hline 
9-Bordeaux & - & - & - & -\tabularnewline
\hline 
10-intermediary & 1e-4 & 1e-4 & 1e-4 & 1e-4\tabularnewline
\hline 
11- Intermediary - Cadillac & 1e-3 & 1e-3 & 1e-3 & 1e-3\tabularnewline
\hline 
12- Cadillac - Langon & 1e-2 & 1e-2 & 1e-3 & 1e-1\tabularnewline
\hline 
13- Langon - Castet/Dorthe & 5e-3 & 1e-2 & 1e-2 & 5e-3\tabularnewline
\hline 
14- Castet/Dorthe - La \lyxdeleted{allain}{Fri Nov 27 12:31:39 2020}{Reole}\lyxadded{allain}{Fri Nov 27 12:31:39 2020}{Réole} & 5e-3 & 5e-3 & 5e-3 & 5e-3\tabularnewline
\hline 
\end{tabular}

\caption{Tableau récapitulatif des valeurs de la rugosité (en m) à chaque section
pour différents cas test.\label{t:R}}
\end{table}

\clearpage{}

\subsection{Courbe de tarage}

Les courbes de tarages permettent de relier la hauteur de la surface
libre fluviale, mesurée par le réseau hydrométrique de limnigraphes,
au débit. Ces courbes de tarages ne sont pertinentes qu'en dehors
de la zone d'influence de la marée ou d'ouvrages de retenues. Pour
un site donné, plusieurs courbes de tarages peuvent être utilisées
en fonction du régime fluvial instantané (crue, étiage, standard),
notamment en raison des variations géométriques possiblement prononcées
du lit fluvial dans ces différentes conditions. Ces courbes de tarage
sont malheureusement peu documentées sur les sites nationaux des ministères
concernés:
\begin{itemize}
\item \href{http://www.hydro.eaufrance.fr/}{http://www.hydro.eaufrance.fr}
\item \href{https://www.vigicrues.gouv.fr/}{https://www.vigicrues.gouv.fr}
\end{itemize}
Par la suite, nous nous sommes restreints en termes de vérifications
au segment Garonne de l'estuaire amont. Pour des raisons de simplifications,
nous avons utilisé la formulation en régime standard, fournie par
les services de la DREAL Adour-Garonne:

\begin{equation}
Q=a\left(H-e\right)^{b}\label{e:tarage}
\end{equation}

avec, pour La Réole, $a=0.0399322196515$ , $b=1.67552668927$ et
$e=-245.981529153$. H est la hauteur de la surface libre mesurée
au-dessus du géoïde RGF93/IGN69 (en centimètre) et Q le débit en m\textsuperscript{3}/s.

Les \lyxadded{allain}{Fri Nov 27 12:44:07 2020}{séries}\lyxdeleted{allain}{Fri Nov 27 12:44:07 2020}{series}
temporelles de 2016 à 2017 des \lyxadded{allain}{Fri Nov 27 12:44:14 2020}{débits}\lyxdeleted{allain}{Fri Nov 27 12:44:14 2020}{debits}
observé par DREAL (courbe bleue) et calculé par la relation (\ref{e:tarage})
(courbe noire) sont \lyxadded{allain}{Fri Nov 27 12:44:22 2020}{présentées}\lyxdeleted{allain}{Fri Nov 27 12:44:22 2020}{presentées}
à la figure \ref{f:LaReole-debit}. Il en ressort que ceux-ci sont
très bien \lyxadded{allain}{Fri Nov 27 12:44:27 2020}{corrélés}\lyxdeleted{allain}{Fri Nov 27 12:44:27 2020}{correlés}
dans le temps en dépit de quelques différences en amplitude davantage
perceptible sur les courbes de tarage de la figure \ref{f:LaReole-tarage},
qui pourraient être liées aux opérations de mises en eau, de calibration
et de maintenance des \lyxadded{allain}{Fri Nov 27 12:45:58 2020}{appareils}\lyxdeleted{allain}{Fri Nov 27 12:44:30 2020}{appareiles}
d'observations.

\begin{figure}[H]
\includegraphics[width=1\textwidth]{media/image8}

\caption{données de débit de 2016 à La Réole\label{f:LaReole-debit}}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
\includegraphics[width=1\textwidth]{media/image9}

\caption{courbe de tarage standard à La Réole et données de débit de 2016\label{f:LaReole-tarage}}
\end{figure}


\subsection{Développement numérique d'une rivière à débit constant}

Dans ce qui suit, nous développons un modèle simple, semi-linéaire,
analytique et numérique, afin d'illustrer le comportement dynamique
de la rivière à débit constant. Le modèle est limité dans la dimension
x-z, en supposant une forme rectangulaire et uniforme le long de la
rivière.

En partant d'équations simplifiées pour les eaux peu profondes:

\begin{equation}
\frac{\partial\eta}{\partial t}+\frac{\partial\text{Hu}}{\partial x}=0
\end{equation}

où H est l'épaisseur de la colonne d'eau (profondeur instantanée),
u la vitesse moyenne du fleuve en profondeur et $\eta$ la surface
libre de la rivière:

\begin{equation}
\eta=H+b
\end{equation}

où \emph{b est} l'altitude (élévation au-dessus de l'état de repos
géoïde) du lit de la rivière. $C_{d}$ est le coefficient de frottement
sans dimension. Il peut être lié à la longueur équivalente de rugosité
du fond \emph{z0} par:

\begin{equation}
C_{d}=\kappa^{2}\left(\log\left(\frac{H}{z_{0}}\right)-1\right)^{-2}
\end{equation}

où $\kappa=0.4$ est la constante de Von Karman. Cette formulation
suppose un profil u logarithmique (d'où un coefficient de diffusion
linéaire “distance du fond”) et des conditions d'écoulement régulier,
ce qui est tout à fait cohérent avec le cadre de nos développements.
Nous pouvons tout d'abord simplifier les équations pour un écoulement
stable en eau peu profonde:

\begin{gather}
u\frac{\partial u}{\partial x}=-g\frac{\partial\eta}{\partial x}-\frac{C_{d}}{H}\left\Vert u\right\Vert u{{}^2}\nonumber \\
\frac{\partial\text{Hu}}{\partial x}=0
\end{gather}


\subsubsection{Fleuve infini de pente uniforme}

On peut trouver une solution particulière pour un débit régulier,
une longueur de rivière infinie, pour un H, une pente de lit et un
u uniformes:

\begin{gather}
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial H}{\partial x}=0,\frac{\partial b}{\partial x}=\text{cste}\nonumber \\
C_{d}\|u\|u=-\text{gH}\frac{\partial\eta}{\partial x}\nonumber \\
C_{d}\left\Vert D\right\Vert D=-gH^{3}\frac{\partial\eta}{\partial x}=-gH^{3}\frac{\partial\left(H+b\right)}{\partial x}=-gH^{3}\frac{\partial b}{\partial x}
\end{gather}

où $D=\text{Hu}$ c'est-à-dire le débit de la rivière par mètre (à
travers la rivière). Le système d'équation nécessite une entrée supplémentaire
pour être résolu, qui peut être choisie entre \emph{H} et \emph{D}.
En prescrivant le débit de la rivière \emph{D}, la solution particulière
(H et u uniformes) est lue:

\begin{gather*}
H=\sqrt[3]{\frac{C_{d}\|D\|D}{g\frac{\partial b}{\partial x}}}
\end{gather*}

En prescrivant la profondeur instantanée de la rivière, la solution
particulière se lit:

\begin{gather}
D=-\text{sign}\left(\frac{\partial b}{\partial x}\right)\sqrt{\frac{g}{C_{d}}H^{3}\left|\frac{\partial b}{\partial x}\right|}\label{e:D}
\end{gather}

Dans les deux cas, u est obtenu avec :

\begin{equation}
u=\frac{D}{H}
\end{equation}

Si le coefficient de frottement $C_{d}$ est obtenu à partir du paramétrage
de la longueur de la rugosité du fond, il dépend ensuite de \emph{H,}
et un schéma itératif (initialisé à partir d'une valeur de coefficient
standard comme 2e-3) est utilisé jusqu'à la convergence.

L'équation (\ref{e:D}) doit être comparée à la relation empirique
d'étalonnage du débit des rivières:

\begin{gather}
\left|D\right|=aH^{b}\nonumber \\
\forall\left(a=\sqrt{\frac{g}{C_{d}}H^{3}\left|\frac{\partial b}{\partial x}\right|}\land b=\frac{3}{2}\right)
\end{gather}

La valeur du coefficient \emph{b} est la conséquence de l'hypothèse
d'une forme rectangulaire traversant la rivière. Dans le cas d'une
forme trapézoïdale, ce coefficient serait plus élevé que cela, car
la largeur effective de la rivière augmente lorsque H augmente (permettant
ainsi un débit D plus important pour un H donné par rapport à une
forme rectangulaire). C'est le cas de l'étalonnage de La Réole, pour
lequel le coefficient b est d'environ 1,675.

Nota:

Il est possible de formuler l'équation (\ref{e:D}) en fonction uniquement
de H, b et D donnés, même dans le cas où on prendrait en compte l'advection
et une diffusion horizontale. Il suffit de remarquer que l'équation
de continuité nous permet d'exprimer la dérivée spatiale de u (au
premier et donc deuxième ordre également) en fonction des 3 paramètres
susnommés:

\begin{equation}
\frac{\partial\text{Hu}}{\partial x}=0\rightarrow\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{-u}{H}\frac{\partial H}{\partial x}=\frac{-D}{H^{2}}\frac{\partial H}{\partial x}
\end{equation}


\subsubsection{Cas général (pente variable du lit fluvial, en dimension limitée)}

Une configuration de rivière académique (profil a été développé pour
étudier sommairement les états d'équilibre comme fonction de la rugosité
du lit de la rivière. Le profil du lit de la rivière a été scindé
en trois sections, avec la pente maximale prescrite pour la partie
centrale et une déclivité moyenne de 10m pour 70km. Cette configuration
s'apparente partiellement à la portion de la Garonne entre La Réole
et Langon. Les équations de l'écoulement sont les équations 2D-V incluant
l'advection et une diffusion horizontale:

\begin{gather}
\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}=-g\frac{\partial\eta}{\partial x}-\frac{C_{d}}{H}\left\Vert u\right\Vert u+\kappa\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}\nonumber \\
\frac{\partial H}{\partial t}+\frac{\partial\text{Hu}}{\partial x}=0
\end{gather}

Le coefficient de diffusion horizontal est déterminé par la paramétrisation
de Smagorinsky:

\begin{equation}
\kappa=0.1\frac{\partial u}{\partial x}
\end{equation}

La discrétisation numérique temporelle choisie est de type forward
pour des raisons de simplicité de codage:

\begin{gather}
u_{n+1}\left(\frac{1}{\text{Δt}}+\frac{\partial u_{n}}{\partial x}+\frac{C_{d}}{H}\left\Vert u_{n}\right\Vert \right)=\frac{1}{\text{Δt}}u_{n}-g\frac{\partial\eta_{n}}{\partial x}+\kappa\frac{\partial^{2}u_{n}}{\partial x^{2}}\nonumber \\
\frac{1}{\text{Δt}}\eta_{n+1}=\frac{1}{\text{Δt}}\eta_{n}-\frac{\partial H_{n}u_{n+1}}{\partial x}
\end{gather}

Les conditions aux limites choisies sont en élévation aux limites
amont et aval. Elles sont déterminées comme la solution asymptotique
d'une rivière ayant la même pente moyenne et une rugosité égale à
celle moyenne de la configuration académique pour un débit de 4 m²/s
par mètre de section transversale, soit par exemple 800 m\textsuperscript{3}/s
pour une section transverse de 200m.

L'état initial est celui de la solution asymptotique. Les équations
numériques sont intégrées jusqu'à quasi-convergence de l'écoulement
vers son état stationnaire (i.e. annulation des dérivées temporelles).
Le pas de temps est de 0.2 secondes, le temps d'intégration moyen
nécessaire est de l'ordre de 12h pour atteindre la convergence.

\subsubsection{Simulations à longueur de rugosité (z0) uniformes}

3 simulations ont été réalisées pour des valeurs de z0 égales à 1.e-05,
1.e-04 et 1.e-03 m. On a vérifié expérimentalement que les débits
effectifs (après intégration et convergence) sont bien égaux à 4m²/s
(figure \ref{f:z0_-uU}). Par contre, naturellement, les 3 simulations
ont des conditions aux limites différentes, puisque la solution asymptotique
dépend de la valeur de z0.

\begin{figure}[H]
\includegraphics[width=1\textwidth]{media/image10}

\includegraphics[width=1\textwidth]{media/image11}

\includegraphics[width=1\textwidth]{media/image12}

\caption{élévation/profondeur des simulations z0 uniforme (haut 1.e-05, milieu
1.e-04, bas haut 1.e-03)\label{f:z0_-etaH}}
\end{figure}

Les 3 simulations présentent des caractéristiques communes (figure
\ref{f:z0_-etaH}, \ref{f:z0_-uU}, \ref{f:z0_-Cd} et \ref{f:z0_-eta}),
avec principalement une profondeur quasi-constante sur la section
amont, une faible diminution puis une augmentation sur la partie centrale
et une profondeur maximum sur la section aval . Les solutions dynamiques
s'écartent significativement des solutions asymptotiques, sauf dans
la section la plus amont. Elles coïncident naturellement aux limites
ouvertes du modèle, où elles sont prescrites comme conditions frontières.
Le débit étant constant le long de l'écoulement fluvial, la valeur
du courant suit une évolution inverse de celle de l'élévation, le
courant maximum étant observé dans la partie centrale à forte déclivité.

\begin{figure}[H]
\includegraphics[width=1\textwidth]{media/image13}

\includegraphics[width=1\textwidth]{media/image14}

\includegraphics[width=1\textwidth]{media/image15}

\caption{vitesse/débit des simulations z0 uniforme (haut 1.e-05, milieu 1.e-04,
bas haut 1.e-03)\label{f:z0_-uU}}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
\includegraphics[width=1\textwidth]{media/image16}

\caption{coefficient de frottement adimensionnel (Cd) des simulations à z0
uniforme\label{f:z0_-Cd}}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
\includegraphics[width=1\textwidth]{media/image17}

\caption{élévations comparées des simulations à z0 uniforme\label{f:z0_-eta}}
\end{figure}

Au final, on peut noter que les trois simulations ont des caractéristiques
très semblables, dont la plus intéressante est un approfondissement
sensible du fleuve à l'aval de la section la plus pentue (où l'écart
avec les solutions asymptotiques sont également les plus importantes),
malgré un rappel vers une profondeur moindre par la condition limite
aval. On note également que la sensibilité des solutions au choix
de rugosité est quasi-homogène sur l'ensemble de la configuration,
avec une profondeur augmentant avec la valeur de longueur de rugosité
z0, et inversement pour le courant (à l'instar des solutions asymptotiques).
\emph{On comprend alors aisément que la profondeur du fleuve peut
être efficacement ajustée en modulant la rugosité du fond}.

\subsubsection{Simulations à longueur de rugosité (z0) variables}

La première simulation \#1 cherche à reproduire la situation d'une
portion amont modérément rugueuse (z0=1.e-04) et d'une portion aval
plus proche d'un état vaseux (variant linéairement entre z0=1.e-04
et z0=1.e-05 à son extrémité).

\begin{figure}[H]
\includegraphics[width=1\textwidth]{media/image18}

\includegraphics[width=1\textwidth]{media/image19}

\includegraphics[width=1\textwidth]{media/image20}

\caption{simulation z0 variable \#1 \label{f:=0000231}}
\end{figure}

La deuxième simulation \#2 est identique à la première sur la partie
la plus aval et la plus amont, mais avec une partie centrale (zone
de plus fort déclivité du fond fluviale) très rugueuse (z0=1.e-03),
se rapprochant des conditions de la Garonne entre Castet-sur-Dorthes
et la Réole.

\begin{figure}[H]
\includegraphics[width=1\textwidth]{media/image21}

\includegraphics[width=1\textwidth]{media/image22}

\includegraphics[width=1\textwidth]{media/image23}

\caption{simulation z0 variable \#2\label{f:=0000232}}
\end{figure}

Contrairement aux simulations précédentes, l'ajout d'une rugosité
forte en partie centrale conduit à un débit significativement différent
(4.5 m²/s) de celui imposé dans les solutions asymptotiques (4m²/s),
accroissement contre-intuitif par comparaison avec la simulation à
z0 variable \#1 dans le sens où la deuxième simulation présente un
fort accroissement de rugosité dans sa partie centrale. Cette divergence
s'explique probablement par l'inadéquation de la méthode asymptotique
pour définir des conditions aux limites assurant un débit donné. Paradoxalement,
la profondeur fluviale reste très proche (comparée aux autres simulations)
à la solution asymptotique, non seulement en partie amont mais aussi
en partie centrale.

\subsubsection{Condition aux limites aval exprimée en débit}

La comparaison des différentes simulations présentées précédemment
est partiellement handicapée par le fait de prescrire les conditions
aux limites aval en élévation. Ces conditions aux limites sont obtenues
à partir de la solution asymptotique (pente moyenne, rugosité moyenne)
de chacune des configurations étudiées. Or la pente dans la section
aval est plus faible que la pente moyenne, et donc voudrait tendre
vers une élévation plus élevée (du fait de la tendance à une réduction
du courant). Les solutions asymptotiques expriment finalement une
condition aval où la pente fluviale augmenterait au-delà de la limite,
et donc tirent l'élévation vers le bas. En outre, elles sont à l'origine
du problème rencontré avec la simulation à z0 variable \#2, où le
débit s'écarte significativement des 4m²/s.

Nous avons donc jugé nécessaire de développer un modèle numérique
simple, très semblable à celui utilisé précédemment, mais où le débit
constitue la condition aux limites afin de garantir une inter-comparaison
à débit identique (4m²/s) pour toutes les configurations.

Pour les simulations à z0 uniformes avec contions aux limites en débit
(figure \ref{f:z0_-aval}), on observe effectivement que la profondeur,
et donc aussi l'élévation de la surface libre, en section aval sont
supérieures à celles des simulations forcées par les solutions asymptotiques.
Par ailleurs on note que quel que soit le type de conditions aux limites,
les profondeurs/élévations restent quasi-parallèle, c'est-à-dire que
l'ajustement de la rugosité à un effet quasi-uniforme sur la section
modélisée.

\begin{figure}[H]
\includegraphics[width=1\textwidth]{media/image24}

\caption{simulation z0 uniformes, comparaison des profondeurs suivant le type
de conditions aux limites appliquées à la frontière aval\label{f:z0_-aval}}
\end{figure}

Pour les simulations à z0 variables avec contions aux limites en débit
(figure \ref{f:=0000231-aval}, figure \ref{f:=0000232-aval} et figure
\ref{f:aval-debit}), on observe également que la profondeur, et donc
aussi l'élévation de la surface libre, en section aval sont supérieures
à celles des simulations asymptotiques. Quel que soit le type de conditions
aux limites, la rugosité fortement augmentée en section centrale de
la configuration \#2 intensifie l'écart relatif des élévations/profondeur.
Par contre, dans la simulation avec condition aval en débit, cet écart
se maintient dans la section aval, alors qu'il était contraint à se
réduire dans la simulation avec condition aval en élévation. Ceci
nous indique que la modification de la rugosité dans une section intermédiaire
de la configuration va impacter le niveau du fleuve dans cette section,
mais également à l'aval de celle-ci, et par conséquent constituer
un levier de modulation différencié de ce niveau entre l'aval et l'amont.

\begin{figure}[H]
\includegraphics[width=1\textwidth]{media/image25}

\caption{simulation z0 variable \#1 avec conditions aux limites aval en débit\label{f:=0000231-aval}}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
\includegraphics[width=1\textwidth]{media/image26}

\caption{simulation z0 variable \#2 avec conditions aux limites aval en débit\label{f:=0000232-aval}}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
\includegraphics[width=1\textwidth]{media/image27}

\caption{simulation z0 variables, comparaison des profondeurs suivant le type
de conditions aux limites appliquées à la frontière aval\label{f:aval-debit}}
\end{figure}


\subsubsection{Conclusion}

On a démontré que la rugosité permet de d'ajuster très efficacement
la profondeur fluviale, pour un débit fixé, et donc constitue un paramètre
de calibration central en estuaire amont. Dans la pratique, on ajuste
la rugosité dans la partie la plus amont du fleuve afin d'assurer
un débit cohérent avec les courbes de tarage correspondant à la station
dont sont tirés les conditions limites formulées en élévation. Une
fois cette étape réalisée, on pourra ajuster une rugosité variable
pour que l'élévation de la surface libre coïncide avec les observations
en aval de la frontière ouverte avec très peu de rétroaction sur la
partie la plus amont. En quelque sorte, contrairement à l'estuaire
aval, soumis à la marée, la calibration de la configuration amont
doit se faire de l'amont vers l'aval. Cette stratégie a été confortée
par l'exercice de calibration de la configuration Gironde réaliste,
présenté dans les sections suivantes. Néanmoins, l'altitude du lit
de la rivière constitue un paramètre dont le réalisme est souvent
discutable (supposé connue dans cette étude académique), qui peut
impacter la solution hydrodynamique et fortement perturber l'ajustement
des hauteurs de surface libre du modèle par rapport aux observations
et donc la calibration amont par l'ajustement de la rugosité. L'influence
certes diminuée mais encore notable de la marée dans l'estuaire amont
constitue dans la pratique une difficulté supplémentaire pour déterminer
un niveau moyen caractéristique de l'écoulement fluvial, du fait de
la dissymétrie de la modulation marée de mortes eaux/marée de vives
eaux et donc de sa signature sur le niveau moyen sur des périodes
de 14 jours (M2/S2) et 28 jours (M2/N2).

\subsection{Calage du débit à La Réole}

Une condition limite fluviale, à l'amont ou à l'aval, nécessite de
prescrire soit l'élévation, soit le débit. Prescrire les deux conjointement
présente un risque d'inconsistance numérique, qui peut se traduire
par l'instabilité ou la divergence des simulations numériques à proximité
de la frontière. Dans le modèle T-UGOm, les deux options sont disponibles,
néanmoins la condition en élévation est considérée comme plus naturelle
puisque correspondant à une observation directe par limnigraphe, et
n'est pas dépendante de la pertinence de la courbe de tarage associée
à la station hydrologique (en particulier dans les cas les plus extrêmes).
Néanmoins, le débit reproduit par le modèle nécessite, pour être adéquat,
un réalisme suffisant dans la portion fluviale en aval de la condition
aux limites, en particulier dans les sections les plus en pente en
termes de surface moyenne.

Schématiquement, l'épaisseur de la colonne d'eau s'ajuste pour que
le frottement de fond compense le gradient de pression dû à la pente
de la surface libre. Si on fixe cette pente (et c'est le cas en imposant
une élévation à l'amont du fleuve), on fixe un niveau de frottement.
Si la rugosité du fond est faible, une vitesse supérieure (et donc
un débit accru) est nécessaire pour obtenir la compensation par rapport
à une rugosité plus forte. Si le lit du fleuve est profond, un débit
plus important sera nécessaire pour obtenir la vitesse de compensation
que si le lit du fleuve est peu profond.

Dans le cas de la Réole, l'élévation a été prescrite et les paramètres
sont ajustés afin d'avoir un débit réaliste. Le réalisme de R00\_B00\_F00
est évalué à la figure \ref{f:R00_B00_F00-LaReole}. Les observations
mettent en avant la variabilité saisonnière du débit et de l'élévation
à La Réole et qui se caractérise par des crues importantes dans la
première moitié de l'année. Après une dizaine de jour, le modèle se
cale aux observations et reproduit assez bien les variabilités en
hauteurs et débits. Toutefois R00\_B00\_F00 dans les conditions réelles
d'observation des paramètres sous estime l'élévation et surestime
le débit. Une chose à faire pour ajuster le débit est d'agir en premier
sur la rugosité. Compte tenu du temps très long nécessaire pour réaliser
des simulations sur l'entière période des observations, les expériences
de sensibilités ont été conduite juste sur les deux premiers mois
de l'année 2016. Pour les représentation nous faisons un zoom sur
la période du 04 au 24/02 qui se distingue par une période stable
et une crue maximale.

\begin{figure}[H]
\includegraphics[width=1\textwidth]{media/image28}

\includegraphics[width=1\textwidth]{media/image29}

\caption{Débit (en haut) et élévation (en bas) à La Réole. Les observations
sont en noirs et le modèle en bleu.\label{f:R00_B00_F00-LaReole}}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
\includegraphics[width=1\textwidth]{media/image30}

\caption{Débit à La Réole pour différentes rugosités.\label{f:R-LaReole}}
\end{figure}

Une série de tests a été menée en variant R (figure\ref{f:R-LaReole}).
Une première chose a été de tester la sensibilité du débit à la rugosité
à la section 14 entre Castet et La Réole. Comme espéré, augmenter
la rugosité à cette section suffit à ramener le débit proche des valeurs
observées (voir R01\_B00\_F00, R03\_B00\_F00 et R05\_B00\_F00). L'expérience
R03\_B00\_F00 simule parfaitement le débit. Nous avons donc fixé la
rugosité à sa valeur dans R03 et conduit des tests supplémentaires
de sensibilité sur B et F (figure \ref{f:R03-LaReole}). Nous nous
sommes aperçu que l'impact de F est plutôt minime tandis l'approfondissement
du seuil de bathymétrie a tendance à diminuer légèrement le débit.

\begin{figure}[H]
\includegraphics[width=1\textwidth]{media/image31}

\caption{Débit à La Réole pour R03 et fonction des paramètres B et F de la
bathymétrie.\label{f:R03-LaReole}}
\end{figure}

Une autre approche dans le réglage du débit serait d'ajuster la rugosité
sur plusieurs sections au lieu de l'augmenter indéfiniment à la section
14. Les courbes pour R02\_ B00\_F00 et R04\_B00\_F00 de la figure
8 indiquent que des ajustement supplémentaire de rugosité jusqu'à
5e-3 à Cadillac et Langon sont insuffisant. Bien que les effets de
B et F soient moins importante que R, il s'est avéré nécessaire pour
les nouvelles expériences de régler la triplette de paramètres. En
fixant B à -3m c'est à dire à la valeur de B01 et en gardant F00 nous
parvenons à calibrer le débit simulé en ajustant la rugosité des sections
de 10 à 14 donc quasiment sur toute la branche de la Garonne allant
de Bordeaux à \lyxadded{allain}{Fri Nov 27 12:46:46 2020}{La Réole}\lyxdeleted{allain}{Fri Nov 27 12:46:46 2020}{Laréole}.
Ces réglages correspondent aux courbes R09\_B01\_F00 à R12\_B01\_F00
de la figure \ref{f:F00-LaReole}.

\begin{figure}[H]
\includegraphics[width=1\textwidth]{media/image32}

\caption{Débit à La Réole pour R03 et fonction des paramètres B et F de la
bathymétrie\label{f:F00-LaReole}}
\end{figure}

Au final les ajustements ayant conduit à une calibration parfaite
du débit à La \lyxdeleted{allain}{Fri Nov 27 12:47:12 2020}{réole}\lyxadded{allain}{Fri Nov 27 12:47:12 2020}{Réole}
sont R03\_B00\_F00 et l'ensemble des expériences de R09\_B01\_F00
à R12\_B01\_F00. Toutefois, cette calibration n'est encore qu'une
étape car il reste à la valider en analysant la réponse du fleuve
aux stations en amont de La \lyxadded{allain}{Fri Nov 27 12:47:18 2020}{Réole}\lyxdeleted{allain}{Fri Nov 27 12:47:18 2020}{réole}.

\subsection{Validation du débit à La Réole: réponse à Bordeaux, Cadillac et Langon.}

Dans cette section nous validons davantage le modèle en nous intéressant
à la hauteur de l'eau aux stations de Bordeaux, Cadillac et Langon.
Nous avons en premier comparé les élévations observées à R00\_B00\_F00
et R03\_B00\_F00.

Le modèle reproduit aussi bien le cycle de marée, les variations d'élévation
et son intensité à Bordeaux dans les conditions R00\_B00\_F00 (figure
\ref{f:F00-1}). Toutefois, le modèle est légèrement décalé vers le
bas mais de moins de 0.4 m. R00\_B00\_F00 présente aussi de bonnes
performances en élévation à Cadillac. Comme à Bordeaux le modèle reproduit
bien le cycle de marée et les élévations avec un léger décalé de moins
de 0.4 m vers le haut en marée haute et vers le bas en marée basse.
La qualité de simulation dans les conditions réalistes se dégrade
à Langon. L'amplitude la marée y est très forte.

La rugosité a été grandement augmenté à la section 14 entre Castet
et La Réole pour l'expérience R03\_B00\_F00 d'ajustement de débit
à La \lyxadded{allain}{Fri Nov 27 12:47:18 2020}{Réole}\lyxdeleted{allain}{Fri Nov 27 12:47:18 2020}{réole}.
Dans cette configuration le modèle a des performances identiques à
R00\_B00\_F00 à Bordeaux. Le changement de rugosité a par contre dégradé
la simulation de la hauteur d'eau à Cadillac, la marée est y surestimée
tandis que la hauteur d'eau lors de la pointe de la crue est sous
estimée. L'expérience R03\_B00\_F00 (figure \ref{f:F00-1}) n'améliore
pas la simulation à Langon. Dans l'ensemble cette configuration a
moins d'effet positif qu'espéré.

\begin{figure}[H]
\includegraphics[width=1\textwidth]{media/image33}

\caption{Comparaison entre élévations observée (en noir) et simulées à Bordeaux,
Cadillac et Langon: R00\_B00\_F00 (en bleu), R09\_B01\_F00 (en bleu
gris) et R03\_B00\_F00 (en vert).\label{f:F00-1}}
\end{figure}

Au vu des résultats de R09\_B01\_F00, les expériences R10\_B01\_F00,
R11\_B01\_F00, R12\_B01\_F00 ont été mené. Ces dernières ont la même
base que R09\_B01\_F00 et se différencient par la valeur de la rugosité
à la section 12 entre Cadillac et Langon. La qualité des représentations
de l'élévation est préservée à Bordeaux avec cette série d'expériences
(figure \ref{f:F00-2}). Les changements de rugosité améliorent les
simulations d'élévations au niveau de Cadillac . Les meilleurs élévations
sont obtenues dans les conditions R10, R11 et voir R12. Les niveaux
d'eaux à Langon pour R10 et R11 sont bien meilleur que dans les autres
situations. Cependant, le niveau moyen et la marée restent encore
légèrement plus fort que les observations.

\begin{figure}[H]
\includegraphics[width=1\textwidth]{media/image34}

\caption{Idem à la figure \ref{f:F00-1}: R10\_B01\_F00 (en orange), R11\_B01\_F00
(en vert) et R12\_B01\_F00 (en rouge)\label{f:F00-2}}
\end{figure}

Nous continuons de mener des expériences dans l'optique d'améliorer
les simulations d'élévations à Langon. Nous avons mené une série simulations
dans lesquelles la rugosité a été fortement augmentée aux sections
12 et 13 situées entre Cadillac et Dorthe. Ces sont les expériences
R13, R14 et R15\_B01\_F00 de la figure \ref{f:F00-3}. L'augmentation
de la rugosité a d'une part diminué l'amplitude de la marée à Langon
pour R13\_B01\_F00, d'autre part elle a contribué à l'accumulation
d'eau et donc à l'augmentation du niveau moyen. Des résultats similaires
sont obtenus avec les simulations R14\_B1\_F00 et R15\_B1\_F00 avec
lesquelles la marées et le niveau moyen sont davantage plus faibles
et plus hauts respectivement. Ces simulations indiquent tout de même
que les ajustement aux sections 12 et 13 sont essentielles à la une
bonne simulation de la marée à Langon. Les simulations R13 à R15 ont
plutôt un impact négatif sur la simulation du débit à La Réole (figure
\ref{f:F00-3-debit}). Comparés aux observations, les débits simulés
sont un peu plus faibles.

\begin{figure}[H]
\includegraphics[width=1\textwidth]{media/image35}

\caption{Idem à la figure \ref{f:F00-1}: R13\_B01\_F00 (en bleu gris), R14\_B01\_F00
(en orange) et R15\_B01\_F00 (en vert)\label{f:F00-3}}
\end{figure}

\begin{figure}[h]
\includegraphics[width=1\textwidth]{media/image36}

\caption{Comparaison entre débits observés (en noir) et simulés à La Réole:
R00\_B00\_F00 (en bleu), R13\_B01\_F00 (en bleu gris), R14\_B01\_F00
(en orange) et R15\_B01\_F00 (en vert)\label{f:F00-3-debit}}
\end{figure}

En somme cette section a été dédiée à des simulation réalistes du
débit et de l'élévation sur la Garonne. Pour y arriver nous avons
ajusté trois paramètres: la rugosité, le seuil et l'offset de la bathymétrie.
Compte tenu du fait que les élévations sont prescrites aux frontières
du modèle, il a été en premier question pour nous d'ajuster les paramètres
du modèle afin de simuler correctement le débit à La Réole. La simulation
basée sur les valeurs initiales des trois paramètres a surestimé ce
dernier débit et nous a conduit à d'abord ajuster la rugosité. En
imposant une rugosité très forte entre Castet et La Réole, nous parvenons
à ajuster le débit à La Réole mais pas le niveau de l'eau dans les
stations en aval que sont Bordeaux, Cadillac et Langon. Plusieurs
séries de tests ont été conduites pour atteindre ces deux objectifs.
A ce stade, les simulations R10\_B01\_F00 et R11\_B01\_F00 sont les
plus satisfaisantes. Elles présentent encore des failles à Langon
qui se caractérise par une forte trop forte. Nous avons débuté des
expériences supplémentaires dans l'optique de corriger ce défaut du
modèle.

\chapter{Analyse du signal de marée\label{s:analysis}}

\rhead{\nameref{s:analysis}}

\section{Introduction}

Alors que les marées côtières peuvent être bien représentés par l'analyse
harmonique, les marées estuaires peuvent être affectés par des processus
non-linéaires et non-stationnaires, et seront mieux représentés par
d'autres méthodes analytiques (\citet{flinchem_introduction_2000}).
La recherche discutée ici présente les résultats des testes des techniques
pour l'analyse des séries temporelles non-linéaires et non-stationnaires.
Bien que le texte va seulement discuter la transformée en ondelettes
continues en détail, d'autres méthodes \lyxadded{allain}{Fri Nov 27 12:47:38 2020}{adaptatives}\lyxdeleted{allain}{Fri Nov 27 12:47:38 2020}{adaptives},
telles que la décomposition en modes empirique (\citet{huang_empirical_1998}),
des méthodes de décomposition en modes empirique d'ensembles (\citet{wu_ensemble_2009,zhang_performance_2010,torres_complete_2011}),
et la méthode de décomposition (\citet{singh_fourier_2017}), ont
été testées pour leurs capacités de décomposer un signal en différentes
composantes fréquentielles. Ces méthodes ont fourni des résultats
\lyxadded{allain}{Fri Nov 27 12:47:46 2020}{intéressants}\lyxdeleted{allain}{Fri Nov 27 12:47:46 2020}{intéessants}
pour l'analyse des marégraphes, les décompositions qu'elles calculaient
étaient \lyxadded{allain}{Fri Nov 27 12:47:54 2020}{parfois}\lyxdeleted{allain}{Fri Nov 27 12:47:54 2020}{parfoi}
inconsistantes dans leur utilité, et donc plus de recherche est nécessaire
pour améliorer l'application de ces techniques a nos données de marégraphes.

\section{\label{sec:model_data} Données d'essai du modèle}

Figure~\ref{fig:model_elev} présente deux séries temporelles pour
les données des marégraphes modèles situés a Langon et Cadillac, où
le modèle n'est forcé que par la composante $M_{2}$. La contribution
de la composante $M_{2}$ aux signaux est évidente, car elle se reflète
dans les changements d'amplitude a grande échelle. Il semblerait également
que les enveloppes des signaux présentent une oscillation lente et
faible avec une période d'environ $5$ jours.

Une vue agrandie des signaux sur une période de trois jours est présentée
dans la figure~\ref{fig:model_elev_zoom}. Les signaux sont caractérisés
par une forte pointe a marée basse suivie d'une augmentation rapide
de l'élévation, avec un maximum plus rond a marée haute. L'augmentation
de la marée basse a la marée haute est environ deux fois plus rapide
que la diminution de la marée haute a la marée basse (environ $0.15\,\mathrm{jours}$
et $0.35\,\mathrm{jours}$ respectivement).

\begin{figure}
\includegraphics[width=1\textwidth]{Cadillac_Langon_model_elevation.jpeg}\caption{Élévation de la niveau de l'eau a des stations a Cadillac et Langon
du modèle estuaire avec le forçage $M_{2}$ seulement. \label{fig:model_elev}}
\end{figure}

\begin{figure}
\includegraphics[width=1\textwidth]{Cadillac_Langon_model_elevation_zoom.jpeg}\caption{Vue agrandie de l'élévation de la niveau de l'eau a des stations a
Cadillac et Langon du modèle estuaire avec le forçage $M_{2}$ seulement.
\label{fig:model_elev_zoom}}
\end{figure}


\section{\label{sec:modelfft} Spectres Fourier}

Les spectres de Fourier peuvent fournir des informations sur les composantes
fréquentielles des signaux, mais ils ne contiennent aucune information
sur leur évolution dans le temps. La figure~\ref{fig:fft_model_elev}
donne les valeurs absolues de la transformée de Fourier pour les élévations
de la niveau de l'eau du modèle a Cadillac et Langon, avec les contributions
importantes de fréquence indiquées. La composante dominante $f_{1}=1.9174\,\mathrm{jours}^{-1}$
correspond a la composante $M_{2}$. La composante suivante la plus
importante $f_{2}=3.8756\,\mathrm{jours}^{-1}$ correspond probablement
a la composante $M_{4}$, et est approximativement, mais pas exactement,
une harmonique de la fréquence dominante ($f_{2}\approx2f_{1}$).
Chaque composante suivante est égale a $f_{2}$ plus un multiple de
$f_{1}$ ($f_{j}=f_{2}+(j-2)f_{1}$). S'il y a des contributions de
fréquences plus basses aux signaux, elles ne sont pas immédiatement
visibles dans les spectres.

\begin{figure}
\includegraphics[width=1\textwidth]{Model_Elevation_FFT_Cadillac_Langon_v2.jpeg}\caption{Valeur absolue de la FFT de l'élévation du niveau de l'eau a Cadillac
(en haut) et Langon (en bas) d'après le modèle avec le forçage $M_{2}$
seulement. \label{fig:fft_model_elev}}
\end{figure}


\section{\label{sec:wavelet} Analyse des ondelettes}

L'analyse par ondelettes utilise un ensemble de fonctions avec un
support compact, c'est-a-dire localisées a un moment précis et tendant
rapidement vers zéro, pour mesurer la contribution en fréquence d'un
signal a différents moments. Ces fonctions sont mises a l'échelle
pour modifier la composante de fréquence mesurée. Contrairement a
la transformée de Fourier, qui calcule les contributions totales de
fréquence pour un signal entier, la transformée en ondelettes peut
examiner comment les fréquences importantes d'un signal changent avec
le temps.

La transformée en ondelettes continue d'un signal, $x(t)$, est donnée
par 
\begin{equation}
W\left(\lambda,t\right)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)\psi_{\lambda,t}^{*}(\tau)d\tau.\label{eq:wavelet_coef}
\end{equation}
$W\left(\lambda,t\right)$ sont appelés les coefficients des ondelettes,
tandis que 
\begin{equation}
\psi_{\lambda,t}(\tau)=\frac{1}{\sqrt{\lambda}}\psi\left(\frac{\tau-t}{\lambda}\right)
\end{equation}
où $\psi(t)$ est la forme fonctionnelle de l'ondelette mère, et l'astérisque
indique son conjugué. $\lambda$ est l'échelle, qui change la fréquence
mesurée par une ondelette donné{e} (les échelles plus grandes mesurent
les composantes de fréquences plus basses).

L'analyse des ondelettes peut être sujette a des effets de bord, où
les ondelettes des plus grandes échelles ne peuvent pas être complètement
contenues vers les bords des données des séries temporelles. Le cône
d'influence désigne la région dans l'espace échelle-temps dans laquelle
la transformée en ondelettes calcule avec précision les coefficients
des ondelettes. Le cône d'influence n'a aucune définition exacte,
mais une estimation, qui sera utilisée ici, est basée sur \lyxdeleted{allain}{Fri Nov 27 12:50:39 2020}{le
temps de repliement-\mbox{$e$}}\lyxadded{allain}{Fri Nov 27 12:50:39 2020}{la
constante de temps}, $t_{e}$, de l'énergie de l'ondelette (\citet{torrence_practical_1998}),
\begin{equation}
\frac{\left|\psi_{\lambda}(t_{e})\right|^{2}}{\left|\psi_{\lambda}(0)\right|^{2}}=e^{-2}.\label{eq:efolding_time}
\end{equation}
\lyxdeleted{allain}{Fri Nov 27 12:50:39 2020}{Le temps de repliement-\mbox{$e$}}\lyxadded{allain}{Fri Nov 27 12:51:02 2020}{La
constante de temps} \lyxdeleted{allain}{Fri Nov 27 12:51:15 2020}{a}\lyxadded{allain}{Fri Nov 27 12:51:15 2020}{à}
une échelle donnée, $\lambda$, est $t_{e}(\lambda)=\lambda t_{e}$.
C'est-a-dire que plus les échelles sont grandes, plus les effets de
bord sont importants, ce qui réduit la fiabilité de l'analyse par
ondelettes a ces échelles. Cela crée des problèmes lors de l'analyse
d'échelles de temps avec des caractéristiques de période plus longue,
car il faut que la série temporelle soit suffisamment longue pour
que les effets de bord a des échelles plus grandes n'affectent pas
la série temporelle entière.

\subsection{\label{sec:modelcwt} La transformée en ondelettes continue du signal
du modèle}

Les caractéristiques importantes des signaux de hauteur de marée sont
largement similaires pour les deux séries chronologiques, c'est pourquoi
l'analyse dans cette section se concentrera sur les séries chronologiques
de Cadillac. L'analyse dans cette section utilise l'ondelette de fréquence
B-spline, dont les paramètres peuvent modifier sa résolution temporelle
et fréquentielle, 
\begin{equation}
\psi(t)=\sqrt{f_{B}}\left(\frac{\sin\left(\pi f_{B}t/M\right)}{\pi f_{B}t/M}\right)^{M}e^{(i2\pi f_{C}t)}
\end{equation}
où $f_{B}$ est le paramètre de fréquence de la bande passante, $f_{C}$
est le paramètre de fréquence centrale, et $M$ est l'ordre de la
spline. \lyxdeleted{allain}{Fri Nov 27 12:50:39 2020}{Le temps de
repliement-\mbox{$e$}}\lyxadded{allain}{Fri Nov 27 12:50:39 2020}{la
constante de temps}, est $t_{e}=\lambda e^{1/M}M/(\pi f_{B})$, indiquant
que la taille du cône d'influence diminue avec l'ordre des splines,
et augmente avec le paramètre de fréquence de la bande passante. Les
parties réelle et imaginaire de cette ondelette, ainsi que $t_{e}$,
sont représentés dans la figure~\ref{fig:wavelet_fbsp5_1_1}, pour
$f_{B}=1$, $f_{C}=1$, et $M=5$. 
\begin{figure}
\centering{}\includegraphics[width=0.6\textwidth]{wavelet_fbsp5_1_1.jpeg}\caption{(De haut en bas) Parties réelle (bleu) et imaginaire (orange) de l'ondelette
de fréquence B-spline pour les paramètres $f_{B}=1$, $f_{C}=1$,
et $M=5$. \label{fig:wavelet_fbsp5_1_1}}
\end{figure}

Figure~\ref{fig:model_wavelet_cadillac} présente le signal de marégraphe
a Cadillac (en haut), les coefficients d'ondelettes réels (deuxième
en partant du haut), les coefficients d'ondelettes imaginaires, (deuxième
en partant du bas), et le \lyxadded{allain}{Fri Nov 27 12:53:04 2020}{spectrogramme}\lyxdeleted{allain}{Fri Nov 27 12:53:04 2020}{scalogramme}
d'ondelettes (amplitude des coefficients d'ondelettes, en bas), en
fonction du temps et de la fréquence, en utilisant les échelles $\lambda=t_{s}\times[1,2,\ldots,512]$,
où $t_{s}=10\,\mathrm{min}$ est la période d'échantillonnage pour
ces données. Les fréquences centrales résultantes auxquelles les coefficients
sont tracés seront de $(f_{C}/t_{s})\times[1,2,\ldots,512]$. 
\begin{figure}
\includegraphics[width=1\textwidth]{cadillac_scalograms_fbsp5-1-5.jpeg}\caption{(De haut en bas) Élévation du niveau d'eau de la série temporelle
du modèle Cadillac, partie réelle des coefficients d'ondelettes, partie
imaginaire des coefficients d'ondelettes, et amplitude des coefficients
d'ondelettes. Les coefficients d'ondelettes sont calculés en utilisant
l'ondelette de fréquence B-spline, avec $f_{B}=1$, $f_{C}=5$, et
$M=5$. \label{fig:model_wavelet_cadillac}}
\end{figure}

Comme le montrent les transformées de Fourier de la figure~\ref{fig:fft_model_elev},
la plus forte contribution au signal se concentre autour de $f=1,9\,\mathrm{jour}^{-1}$,
c'est-a-dire les composantes semi-diurnes. Une contribution plus faible
est visible autour de $f=3,8\,\mathrm{jour}^{-1}$, ce qui correspond
a la composante $M_{4}$. Les deux contributions maintiennent des
amplitudes presque constantes pendant toute la durée du signal. Pour
analyser les détails plus fins du \lyxadded{allain}{Fri Nov 27 12:53:04 2020}{spectrogramme}\lyxdeleted{allain}{Fri Nov 27 12:53:04 2020}{scalogramme},
la figure~\ref{fig:model_wavelet_cadillac_zoom} fournit une vue
agrandie sur $\approx3\,\mathrm{jours}$. 
\begin{figure}
\includegraphics[width=1\textwidth]{cadillac_scalograms_fbsp5-1-5_zoom.jpeg}\caption{(De haut en bas) Élévation du niveau d'eau de la série temporelle
du modèle Cadillac, partie réelle des coefficients d'ondelettes, partie
imaginaire des coefficients d'ondelettes, et amplitude des coefficients
d'ondelettes. Les coefficients d'ondelettes sont calculés en utilisant
l'ondelette de fréquence B-spline, avec $f_{B}=1$, $f_{C}=5$, et
$M=5$. \label{fig:model_wavelet_cadillac_zoom}}
\end{figure}

Les minima du signal correspondent aux changements de signe des coefficients
des parties réelles le long de $f=1,9\,\mathrm{jour}^{-1}$, tandis
que les maxima du signal correspondent aux changements de signe des
coefficients des parties imaginaires le long de $f=1,9\,\mathrm{jours}^{-1}$.

\subsection{Incertitude dans l'espace fréquence-temps}

\begin{figure}
\includegraphics[width=1\textwidth]{cadillac_scalograms_fbsp5-1-5_fbsp5-1-1.jpeg}\caption{(De haut en bas) Élévation du niveau d'eau de la série temporelle
du modèle a Cadillac, partie réelle des coefficients de l'ondelette
utilisant l'ondelette de fréquence B-spline, avec $f_{B}=1$, $f_{C}=5$,
et $M=5$, et partie réelle des coefficients de l'ondelette utilisant
l'ondelette\lyxdeleted{allain}{Fri Nov 27 12:54:56 2020}{ de fréquence}
B-spline\lyxdeleted{allain}{Fri Nov 27 12:55:11 2020}{ wavelet,} avec
$f_{B}=1$, $f_{C}=1$, et $M=5$. \label{fig:wavelet_uncertainty}}
\end{figure}

Il existe un principe d'incertitude qui relie la fréquence et le temps
dans l'analyse des ondelettes (voir \citet{mallat_wavelet_1999}).
Une augmentation de la résolution en fréquence entraîne une diminution
de la résolution temporelle, et inversement. Le panneau central de
la figure~\ref{fig:wavelet_uncertainty} présente la partie réelle
des coefficients d'ondelettes en utilisant les paramètres des figures~\ref{fig:model_wavelet_cadillac}
et \ref{fig:model_wavelet_cadillac_zoom}, tandis que le panneau inférieur
utilise une ondelette de fréquence B-spline ($f_{B}=1$, $f_{C}=1$,
et $M=5$) qui est moins résolu en espace de fréquence. Les coefficients
importants de l'ondelette du panneau inférieur sont concentrés aux
mêmes fréquences que ceux du panneau central, mais il y a une diffusion
aux fréquences adjacentes. Cela souligne l'importance de choisir correctement
une ondelette lors de l'analyse d'une série temporelle donnée, et
que l'analyse des ondelettes peut rendre difficile la distinction
des composantes d'un signal ayant des fréquences similaires (par exemple,
les composantes de marée $M_{2}$ et $S_{2}$).

\section{\label{sec:wavelet_recon_filt} Reconstruction du signal et filtrage
des ondelettes}

En utilisant la définition précédente pour les coefficients d'ondelettes
(\ref{eq:wavelet_coef}), pour les ondelettes réelles, on peut recréer
le signal original grâce a la formule 
\begin{equation}
x(t)=\frac{1}{C_{\psi}}\iint W\left(\lambda,t\right)\frac{1}{\sqrt{\lambda}}\psi\left(\frac{t-\tau}{\lambda}\right)\frac{d\lambda dt}{\lambda^{2}}\label{eq:wavelet_inv}
\end{equation}
où 
\begin{equation}
C_{\psi}=\int_{0}^{\infty}\frac{\left|\hat{\psi}(\omega)\right|^{2}}{\left|\omega\right|}d\omega
\end{equation}
est le coefficient d'admissibilité. Pour les ondelettes analytiques,
telles que l'ondelette de fréquence B-spline ou l'ondelette de Morlet
complexe, la formule change légèrement, et il faut multiplier la partie
réelle du côté droit de l'équation~(\ref{eq:wavelet_inv}) par $2$.
Pour plus de détails, voir \citet{mallat_wavelet_1999}.

De plus, la transformée en ondelettes continue a une identité équivalente
au théorème de Parseval pour la transformée de Fourier, 
\begin{equation}
\int_{-\infty}^{\infty}\left|x(t)\right|^{2}dt=\frac{1}{C_{\psi}}\int_{0}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\left|W\left(\lambda,t\right)\right|^{2}dt\frac{d\lambda}{\lambda^{2}}.\label{eq:wavelet_energy}
\end{equation}
Par souci de commodité, le côté gauche de cette équation sera appelé
l'énergie du signal, tandis que le côté droit sera appelé l'énergie
des coefficients d'ondelette. L'équation~\ref{eq:wavelet_energy}
peut être utilisée pour mesurer la qualité de la reconstruction d'une
série temporelle par les coefficients d'ondelettes. En pratique, en
raison des effets de bord, il est difficile pour l'énergie du coefficient
d'ondelette de conserver l'énergie totale du signal. Les signaux qui
contiennent principalement des composantes a haute fréquence conservent
généralement plus d'énergie que les signaux composés de composantes
a basse fréquence.

Par exemple, en calculant les coefficients d'ondelettes des données
du modèle a Cadillac (non illustré) en utilisant l'ondelette chapeau
mexicain, 
\begin{equation}
\psi(t)=\frac{2}{3^{1/2}\pi^{1/4}}e^{-\frac{t^{2}}{2}}\left(1-t^{2}\right),\label{eq:mexican_hat}
\end{equation}
l'énergie des coefficients d'ondelette est de $99.4\%$ de l'énergie
du signal original. En reconstruisant le signal a partir de ces coefficients
a l'aide de l'équation~(\ref{eq:wavelet_inv}), comme le montre la
figure~\ref{fig:wavelet_recon_zoom}, seul $83.3\%$ de l'énergie
de la série temporelle originale est récupéré. La reconstruction sous-estime
les extrêmes et est moins fiable aux heures de début et de fin des
données (non indiquées). Une des raisons pour laquelle les \lyxadded{allain}{Fri Nov 27 12:55:59 2020}{extrema}\lyxdeleted{allain}{Fri Nov 27 12:55:59 2020}{extrêma}
ne sont pas bien représentés pourrait être que le code actuellement
utilisé sous-résout l'ondelette autour des échelles d'échantillonnage,
ce qui nécessite une étude plus approfondie. 
\begin{figure}
\centering{}\includegraphics[width=0.75\textwidth]{cadillac_model_mexh_wavelet_reconstruction_zoom.jpeg}\caption{Vue agrandie sur $2$ jours du signal du modèle original de Cadillac
(bleu), et sa reconstruction en utilisant l'ondelette chapeau mexicain
(orange). \label{fig:wavelet_recon_zoom}}
\end{figure}

C'est un aspect pour lequel les autres méthodes d'analyse des séries
temporelles non-linéaires et non-stationnaires étudiées semblent avoir
un avantage, car elles ont généralement donné de meilleurs résultats
lors de la recréation des séries temporelles originales.

Une application utile de cette reconstruction est que les coefficients
des ondelettes peuvent être sélectionnés en fonction de temps et d'échelle
pour filtrer sélectivement les séries temporelles. La figure~\ref{fig:wavelet_recon_filter}
reconstruit le signal Cadillac dans trois gammes de fréquences différentes,
avec des fréquences données en $\mathrm{jour}^{-1}$, avec une vue
agrandie des composantes filtrées sur une période de $2$ jours donnée
dans la figure~\ref{fig:wavelet_recon_filter_zoom}. 
\begin{figure}
\includegraphics[width=1\textwidth]{cadillac_model_mexh_wavelet_reconstruction_filter.jpeg}\caption{ (De haut en bas) Signal original du modèle a Cadillac (rouge), et
sa reconstruction filtrée dans les gammes de fréquences $[0.3\,\mathrm{jour}^{-1},3\,\mathrm{jour}^{-1}]$,
$(3\,\mathrm{jour}^{-1},5\,\mathrm{jour}^{-1}]$, \lyxdeleted{allain}{Fri Nov 27 12:56:20 2020}{and}\lyxadded{allain}{Fri Nov 27 12:56:20 2020}{et}
$(5\,\mathrm{jour}^{-1},144\,\mathrm{jour}^{-1}]$. \label{fig:wavelet_recon_filter}}
\end{figure}

\begin{figure}
\includegraphics[width=1\textwidth]{cadillac_model_mexh_wavelet_reconstruction_filter_zoom.jpeg}\caption{(De haut en bas) Vue agrandie sur $2$ jours du signal original du
modèle a Cadillac (rouge), et sa reconstruction filtrée dans les gammes
de fréquences $[0.3\,\mathrm{jour}^{-1},3\,\mathrm{jour}^{-1}]$,
$(3\,\mathrm{jour}^{-1},5\,\mathrm{jour}^{-1}]$, $(5\,\mathrm{jour}^{-1},10\,\mathrm{jour}^{-1}]$
et $(10\,\mathrm{jour}^{-1},144\,\mathrm{jour}^{-1}]$. \label{fig:wavelet_recon_filter_zoom}}
\end{figure}

Comme le suggèrent les coefficients d'ondelettes de la figure~\ref{fig:model_wavelet_cadillac},
la contribution la plus importante se situe dans la gamme de $0,3\,\mathrm{jour}^{-1}$
a $3\,\mathrm{jour}^{-1}$, ce qui donne une sinusoïde d'amplitude
presque constante d'environ $1.5\,\mathrm{m}$, et d'une fréquence
d'environ $2\,\mathrm{jour}^{-1}$. Alors que les maxima de ces composantes
correspondent a peu près aux maxima du signal original, les minima
de ces composantes se produisent environ $0.1\,\mathrm{jours}$ avant
les minima du signal original. Les minima des autres composantes a
haute fréquence correspondent tous beaucoup plus près aux pointes
aiguës du signal original. Les composantes a haute fréquence présentent
des caractéristiques périodiques qui se répètent également avec une
fréquence d'environ $2\,\mathrm{jour}^{-1}$, bien que des asymétries
de fréquence plus élevées soient visibles dans les structures a plus
longue période. Les maxima dans la gamme de $3\,\mathrm{jour}^{-1}$
a $5\,\mathrm{jour}^{-1}$ atteignent une valeur d'environ $0.525\,\mathrm{m}$,
et se produisent juste avant les maxima du signal original. Les minima
se produisent a peu près au même moment que les pointes aiguës, atteignant
une valeur d'environ $0,505\,\mathrm{m}$. Une deuxième paire \lyxadded{allain}{Fri Nov 27 12:56:57 2020}{d'extrema}\lyxdeleted{allain}{Fri Nov 27 12:56:57 2020}{d'extrêma}
beaucoup plus faibles se produit après chaque maximum primaire, se
produisant pendant la diminution du signal d'origine. Les composantes
comprises entre $5\,\mathrm{jour}^{-1}$ \lyxdeleted{allain}{Fri Nov 27 12:57:27 2020}{to}\lyxadded{allain}{Fri Nov 27 12:57:27 2020}{à}
$10\,\mathrm{jour}^{-1}$ sont environ deux fois moins fortes que
les composantes comprises entre $3\,\mathrm{jour}^{-1}$ \lyxdeleted{allain}{Fri Nov 27 12:57:33 2020}{to}\lyxadded{allain}{Fri Nov 27 12:57:33 2020}{à}
$5\,\mathrm{jour}^{-1}$, bien que la paire \lyxadded{allain}{Fri Nov 27 12:56:57 2020}{d'extrema}\lyxdeleted{allain}{Fri Nov 27 12:56:57 2020}{d'extrêma}
qui se produit après les maxima primaires soit relativement plus forte.
La gamme de $10\,\mathrm{day}^{-1}$ a $144\,\mathrm{day}^{-1}$ montre
la contribution la plus faible et est beaucoup plus intermittente
que les autres composantes, avec des minima d'environ $-0,14\,\mathrm{m}$
qui se produisent juste avant les pointes aiguës du signal original.
Cette composante reste proche de zéro après que le signal d'origine
a atteint ses maxima et commence a diminuer.

Bien que le filtrage des ondelettes offre une approche intéressante
pour examiner la structure des différentes contributions de fréquence
a un signal, il présente des limites. Comme mentionné lors de la discussion
sur le calcul des coefficients d'ondelettes, si le signal a de multiples
composantes de fréquences similaires, ou si l'ondelette d'analyse
a une faible résolution d'échelle, il peut être difficile de séparer
le signal en différentes composantes de fréquence. En outre, les effets
de bord limitent la reconstruction du signal, en particulier pour
les composantes a grande échelle (puisque \lyxdeleted{allain}{Fri Nov 27 12:50:39 2020}{le
temps de repliement-\mbox{$e$}}\lyxadded{allain}{Fri Nov 27 12:50:39 2020}{la
constante de temps} augmente avec l'échelle, et donc la région a l'intérieur
du cône d'influence augmente avec l'échelle). Il peut donc être prudent
de prétraiter les données avant l'analyse des ondelettes pour éliminer
les tendances a plus grande échelle, par exemple en utilisant une
moyenne mobile.

\section{\lyxadded{allain}{Fri Nov 27 11:47:12 2020}{Rapport entre l’amplitude
de marée et le débit\label{s:amplitude-debit}}}

\lyxadded{allain}{Fri Nov 27 12:58:07 2020}{Les courbes de tarage
sont utilisés pour établir des relations entre la hauteur de la surface
libre de l'eau et le débit à des stations de jaugeage. Dans cette
section, on examine si un rapport utile entre l'amplitude de marée
et le débit à une station plus en amont peut être calculé. Pour la
série temporelle de le niveau de la surface d'eau, $x_{j}=x(t_{j})$,
à temps $t_{j}$, on définit l'élévation moyenne 
\begin{equation}
\overline{x}_{j}=\sum_{k=0}^{N-1}x_{j-N/2+k},
\end{equation}
où $N$ est le nombre échantillons par fenêtre (moyenne glissante
avec fenêtre de taille $N$). En choisissant une taille de fenêtre
appropriée, on peut enlever les contributions quotidiennes de la marée,
et donner une série temporelle contrôlée principalement par la crue.
L'amplitude de marée associée avec cette moyenne est définie 
\begin{equation}
A(t)=x(t)-\overline{x}.
\end{equation}
Pour cette analyse par moyenne glissante, les données doivent être
également distribuées dans le temps. Puisque les équipements de mesure
peuvent subir des défaillances opérationnelles, les données retournées
peuvent avoir des trous où les valeurs n'étaient pas mesurés, ou des
pics erronés qui ne représentent pas les vraies données. Chaque trou
dans les données a été remplacé par des NaNs à les temps appropriés
définis par la période d'échantillonnage ($5$ minutes). De plus,
chaque pic erroné est identifié par prendre la différence dans les
données entre chaque pas de temps, et la comparer à une valeur seuil.
Ces pics sont aussi remplacés par des NaNs}

\lyxadded{allain}{Fri Nov 27 12:58:53 2020}{Pour les données analysées
ici (marégraphe à Cadillac entre $31/12/2015$ à $17/03/2017$, en
noir dans le panneau supérieur de figure~\ref{fig:cadillac_amplitude}),
une fenêtre d'environ deux fois la période de marée $M_{2}$ ($24\mathrm{h}50\mathrm{m}$,
ou $298$ échantillons) a été utilisée pour le calcul de l'élévation
moyenne. Pour estimer comment la magnitude de l'amplitude change avec
le temps, les extrema locaux de $A$ sont identifiés en utilisant
un algorithme pour détecter les pics. L'évolution temporelle de ces
minima et maxima est présenté dans le panneau central de figure~\ref{fig:cadillac_amplitude}.
Dans le panneau inférieur de figure~\ref{fig:cadillac_amplitude},
ces extrema sont tracés contre le débit à La Réole (donné en gris
dans le panneau supérieur de figure~\ref{fig:cadillac_amplitude})
pour estimer une courbe de tarage. Actuellement, dans cette figure,
les points sont assez dispersés, mais il y a un tendance pour le magnitude
de l'amplitude à diminuer avec le débit.}

\lyxadded{allain}{Fri Nov 27 11:00:10 2020}{}
\begin{figure}
\centering{}\lyxadded{allain}{Fri Nov 27 11:00:10 2020}{\includegraphics[width=0.8\textwidth]{Cadillac_amplitude_min_max_v2.jpeg}}\caption{\lyxadded{allain}{Fri Nov 27 13:03:42 2020}{(Haut) Hauteur de la surface
libre de l'eau à la station de jaugeage de Cadillac de $31/12/2015$
à $17/03/2017$ (noir) et le débit à La Réole (gris). (Milieu) L'évolution
temporelle des maxima (bleu) et minima (orange) de l'amplitude de
la marée. (Bas) Les maxima (bleu) et minima (orange) comme fonction
de débit, avec moyennes données en noir, et écarts types donnés par
les lignes verticales. \label{fig:cadillac_amplitude}}}
\end{figure}

\lyxadded{allain}{Fri Nov 27 11:00:10 2020}{On peut voir que les maxima
dans le panneau central de figure~\ref{fig:cadillac_amplitude} montre
encore des constituants de marée. Spécifiquement, il semble qu'il
reste encore des composantes avec des périodes d'environ $1$ jour,
$14$ jours, et $28$ jours (ces dernières deux indiquant peut-être
les constituants $S_{2}$ et $N_{2}$). Pour réduire la dispersion
dans les nuages de points et mieux estimer une courbe de tarage, un
filtre coupe-bande est appliqué pour enlever ces composantes. L'analyse
Fourier indique des composantes importantes à des fréquences d'environ
$0.038\,\mathrm{jour}^{-1}$, $0.068\,\mathrm{jour}^{-1}$, et $1\,\mathrm{jour}^{-1}$,
alors le filtre coupe-bande est appliqué à les gammes $[0.03,0.05]\,\mathrm{jour}^{-1}$,
$[0.06,0.075]\,\mathrm{jour}^{-1}$, et $[0.9,1.1]\,\mathrm{jour}^{-1}$.
Il faut noter que l'analyse Fourier nécessite que les minima et maxima
sont également distribuées dans le temps, alors ils (et le débit)
sont interpolés à une série temporelle avec un pas de temps d'environ
$0.125\,\mathrm{jours}$. Les minima et maxima filtrés sont donnés
en noir au dessus les séries originales dans le panneau central de
figure~\ref{fig:cadillac_amplitude_filt}. Les nuages de points des
minima et maxima filtrés contre le débit (panneau inférieur de figure~\ref{fig:cadillac_amplitude_filt})
sont généralement moins dispersés qu'avant, et suggèrent qu'il y a
une décroissance faible d'amplitude avec le débit. Notez que l'interpolation
utilise plus de points que les séries temporelles originales, alors
les nuages de points sont plus denses. }
\begin{figure}
\centering{}\lyxadded{allain}{Fri Nov 27 11:00:10 2020}{\includegraphics[width=0.8\textwidth]{Cadillac_amplitude_min_max_bandstop_v2.jpeg}}\caption{\lyxadded{allain}{Fri Nov 27 13:03:58 2020}{(Haut) Hauteur de la surface
libre de l'eau à la station de jaugeage de Cadillac de $31/12/2015$
à $17/03/2017$ (noir) et le débit à La Réole (gris). La courbe bleue
indique le débit à des intervalles de $0.125\,\mathrm{jours}$. (Milieu)
L'évolution temporelle des maxima (bleu) et minima (orange) de l'amplitude
de la marée, avec séries filtrées en noir. (Bas) Les maxima (bleu)
et minima (orange) comme fonction de débit, avec moyennes données
en noir, et écarts types donnés par les lignes verticales. \label{fig:cadillac_amplitude_filt}}}
\end{figure}

\lyxadded{allain}{Fri Nov 27 11:00:10 2020}{L'utilisation de l'analyse
harmonique pour enlever des constituants de marée avant l'estimation
de la courbe de tarage était aussi examiné, mais il reste encore du
travail à faire.}

\chapter{\lyxadded{allain}{Fri Nov 27 11:38:42 2020}{Conclusion\label{s:Conclusion}}}

\rhead{\lyxadded{allain}{Fri Nov 27 11:38:42 2020}{\nameref{s:Conclusion}}}

\lyxadded{allain}{Fri Nov 27 11:43:09 2020}{Comme détaillé au chapitre
\ref{s:Gironde}, résumé en \ref{s:Gironde-conclusion}, le développement
d'un outil analytique de calibration des frottement et de la bathymétrie,
adaptable à tous les modèle et peu gourmand en ressources, a été amorcé.
Les résultats préliminaires montrent, en ne calibrant que les frottements,
une très forte réduction de l'erreur en amplitude. On doit s'attendre
à une très forte réduction de l'erreur aussi en phase une fois les
développements finalisés.}

\lyxadded{allain}{Fri Nov 27 12:22:14 2020}{Ce nouvel outil analytique
est basé sur les amplitudes de marées, qui sont peut-être trop faibles
pour que l'outil fonctionne dans l'estuaire amont. En utilisant des
données d'élévation et de débit, il est cependant possible de retrouver
une calibration comme le montre l'étude détaillée au chapitre \ref{s:amont}.}

\lyxadded{allain}{Fri Nov 27 12:59:02 2020}{Les fortes non-linéarité
des estuaires font aussi échouer la méthode d'analyse harmonique de
la marée, habituelle dans l'océan. Les méthodes d'analyse du signal
de marée adaptées aux estuaires expliquées au chapitre \ref{s:analysis}
montrent entre autre en \ref{s:amplitude-debit} qu'il est envisageable
de prévoir les niveaux des marées en fonction du débit.}

\bibliographystyle{plainnat-fr}
\bibliography{/home/allain/LEGOS/SHOM/2019-rapport/../../literature/literature}

\end{document}
