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% first release v1.0, 20th October 1996
%       release v1.01, 29th October 1996
%       release v1.1, 25th June 1997
%       release v2.0, 27th July 2004
%       release v3.0, 16th July 2014
%   (based on JFMsampl.tex v1.3 for LaTeX2.09)
% Copyright (C) 1996, 1997, 2014 Cambridge University Press

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\shorttitle{MAREST Notes}
\shortauthor{JP}

\title{MAREST Rapport 2020}

\author{JP}

\affiliation{\aff{1}LEGOS}

\begin{document}

\maketitle

\begin{abstract}
Ce document d\'{e}tail la recherche des m\'{e}thodes non-lin\'{e}aires pour l'analyse des s\'{e}ries de temps de mar\'{e}egraphes de la Gironde.
\end{abstract}

\section{}
Alors que les marées côtières peuvent être représentées de manière adéquate par l'analyse harmonique, les marées dans les estuaires sont souvent soumises à des effets non linéaires et non stationnaires (dont les composantes de fréquence varient avec le temps), et peuvent donc être mieux servies par différentes méthodes d'analyse \cite{flinchem_introduction_2000}. Les recherches présentées ici sont le résultat d'investigations sur les techniques d'analyse des séries temporelles non stationnaires et non linéaires. Alors que seule la transformation continue en ondelettes sera examinée en détail, d'autres techniques adaptatives ne nécessitant aucune connaissance préalable des données, telles que la décomposition en mode empirique (EMD, \cite{huang_empirical_1998}), Diverses méthodes d'EMD d'ensemble (\cite{wu_ensemble_2009,zhang_performance_2010,torres_complete_2011}), et la méthode de décomposition de Fourier \cite{singh_fourier_2017}, ont été examinées pour leur capacité à décomposer un signal en composantes de fréquence séparées. Bien que les résultats fournis par ces techniques soient intéressants et prometteurs pour l'analyse des séries chronologiques de marées, les décompositions qu'elles ont renvoyées pouvaient être incohérentes dans leur utilité et sujettes à un mélange de modes.

\section{\label{sec:model_data} Données d'essai du modèle}
Cette section traite de l'analyse des données des modèles simplifiés.

\subsection{\label{sec:M2} Signal modèle avec seulement le forçage M2}
La figure~\ref{fig:model_elev} présente deux séries chronologiques pour les données des marégraphes modèles situés à Langon et Cadillac, où le modèle n'est forcé que par la composante marémotrice $M_2$. La contribution de la composante $M_2$ aux signaux est évidente, car elle se reflète dans les changements d'amplitude à grande échelle. Il semblerait également que les enveloppes des signaux présentent une oscillation lente et faible avec une période d'environ $5$ jours. Les deux ensembles de données de simulation ont également une période de spin-up d'environ quatre jours, qui sont supprimés lors de l'analyse des séries chronologiques.

Une vue agrandie des signaux sur une période de trois jours est présentée dans la figure~\ref{fig:model_elev_zoom}. Les signaux sont caractérisés par une forte pointe à marée basse suivie d'une augmentation rapide de l'élévation, avec un pic plus rond à marée haute. L'augmentation de la marée basse à la marée haute est environ deux fois plus rapide que la diminution de la marée haute à la marée basse (environ 0,15 $ et 0,35 $ respectivement).


\begin{figure} 
 \centerline{\includegraphics[width=5in]{Cadillac_Langon_model_elevation.jpeg}} % Made using model_multisignal_plot.py
  \caption{Élévation du niveau de l'eau à Cadillac et Langon d'après le modèle de l'estuaire à marée avec seulement $M_2$ de forçage. \label{fig:model_elev}} 
\end{figure}

\begin{figure} 
 \centerline{\includegraphics[width=5in]{Cadillac_Langon_model_elevation_zoom.jpeg}} % Made using model_multisignal_plot.py
  \caption{A magnified view of the water level elevation at Cadillac and Langon from the tidal estuary model with only $M_2$ forcing. \label{fig:model_elev_zoom}} 
\end{figure}


\section{\label{sec:modelfft} Spectre de Fourier}
Si les spectres de Fourier peuvent fournir des informations sur les composantes fréquentielles des signaux, ils ne contiennent aucune information sur leur évolution dans le temps. La figure~\ref{fig:fft_model_elev} donne les valeurs absolues de la transformée de Fourier pour les élévations d'eau des modèles Cadillac et Langon, avec les contributions importantes de fréquence indiquées. La composante dominante $f_1 = 1,9174\,\mathrm{jours}^{-1}$ correspond à la composante $M_2$. La composante suivante la plus importante $f_2 = 3,8756\,\mathrm{jours}^{-1}$ correspond probablement au constituant $M_4$, et est approximativement, mais pas exactement, une harmonique de la fréquence dominante ($f_2\approx 2f_1$). Chaque composante suivante est égale à $f_2$ plus un multiple de $f_1$ ($f_j = f_2 + (j-2)f_1$). Les éventuelles contributions de fréquences plus basses aux signaux ne sont pas immédiatement visibles dans les spectres.

\begin{figure} 
 \centerline{\includegraphics[width=5in]{Model_Elevation_FFT_Cadillac_Langon_v2.jpeg}} % Made using model_multisignal_plot.py
  \caption{Valeur absolue de la FFT de l'élévation du niveau de l'eau à Cadillac (en haut) et Langon (en bas) d'après le modèle de l'estuaire à marée avec seulement $M_2$ de forçage. \label{fig:fft_model_elev}} 
\end{figure}



\section{\label{sec:wavelet} Analyse des ondelettes}
L'analyse par ondelettes utilise un ensemble de fonctions avec un support compact, c'est-à-dire localisées à un moment précis et tendant rapidement vers zéro, pour mesurer la contribution en fréquence d'un signal à différents moments. Ces fonctions sont mises à l'échelle pour modifier la composante de fréquence mesurée. Contrairement à la transformée de Fourier, qui calcule les contributions totales de fréquence pour un signal entier, la transformée en ondelettes peut examiner comment les fréquences importantes d'un signal changent avec le temps.

La transformée en ondelettes continue (CWT) d'un signal, $x(t)$, est donnée par 
\begin{equation}
 W\left(\lambda,t\right) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)\psi^*_{\lambda,t}(\tau) d\tau.
\end{equation}
$W\left(\lambda,t\right)$ sont appelés les coefficients d'ondelettes, tandis que
\begin{equation}
 \psi_{\lambda,t}(\tau) = \frac{1}{\sqrt{\lambda}}\psi \left(\frac{\tau-t}{\lambda}\right)
\end{equation}
où $\psi(t)$ est la forme fonctionnelle de l'ondelette mère, et l'astérisque indique le conjugué complexe. $\lambda$ est l'échelle, qui modifie la fréquence mesurée par une ondelette donnée (une échelle plus grande mesure les composantes de fréquence plus basses).

Les ondelettes peuvent être sujettes à des effets de bord, où les plus grandes échelles ne peuvent pas être complètement contenues vers les bords des données des séries temporelles. Le cône d'influence désigne la région dans l'espace échelle-temps dans laquelle la CWT calcule avec précision les coefficients des ondelettes. Le cône d'influence n'a pas de définition exacte, mais une estimation, qui sera utilisée ici, est basée sur le temps de repliement $e$, $t_e$, de l'énergie de l'ondelette \cite{torrence_practical_1998},
\begin{equation}
 \frac{\left|\psi_\lambda(t_e) \right|^2}{\left|\psi_\lambda(0) \right|^2} = e^{-2}.
 \label{eq:efolding_time}
\end{equation}
Le temps de pliage $e$ à une échelle donnée est calculé comme suit : $t_e(\lambda) = \lambda t_e$, c'est-à-dire que plus les échelles sont grandes, plus les effets de bord sont importants, ce qui réduit la fiabilité de l'analyse par ondelettes à ces échelles. Cela crée des problèmes lors de l'analyse d'échelles de temps avec des caractéristiques de période plus longue, car il faut que la série temporelle soit suffisamment longue pour que les effets de bord à des échelles plus grandes n'affectent pas la série temporelle entière.

\subsection{\label{sec:modelcwt} CWT du signal du modèle}
Les caractéristiques importantes des signaux de hauteur de marée sont largement similaires pour les deux séries chronologiques, c'est pourquoi l'analyse dans cette section se concentrera sur les séries chronologiques de la Cadillac. L'analyse dans cette section utilise l'ondelette de fréquence B-spline, dont les paramètres peuvent modifier sa résolution temporelle et fréquentielle,
\begin{equation}
  \psi(t) = \sqrt{f_B}\left(\frac{\sin\left(\pi f_B t/M\right)}{\pi f_B t/M}\right)^M e^{(i 2 \pi f_C t)}
\end{equation}
où $f_B$ est le paramètre de fréquence de la bande passante, $f_C$ est la fréquence centrale, et $M$ est l'ordre de la spline. Le temps de repliement $e$ pour cette ondelette, tel que défini par l'équation~(\ref{eq:efolding_time}), est $t_e = \lambda e^{1/M} M /(\pi f_B)$, indiquant que la taille du cône d'influence diminue avec l'ordre des splines, et augmente avec le paramètre de fréquence de la bande passante. Les parties réelle et imaginaire de cette ondelette, ainsi que $t_e$ sont représentés dans la figure~\ref{fig:ondelette_fbsp5_1_1}, pour $f_B = 1$, $f_C = 1$, et $M = 5$.
\begin{figure} 
 \centerline{\includegraphics[width=3in]{wavelet_fbsp5_1_1.jpeg}} % Made using model_multisignal_plot.py
  \caption{(De haut en bas) Parties réelle (bleu) et imaginaire (orange) de l'ondelette de fréquence B-spline pour les paramètres $f_B = 1$, $f_C = 1$, et $M = 5$. \label{fig:wavelet_fbsp5_1_1}} 
\end{figure}
Figure~\ref{fig:model_wavelet_cadillac} présente le signal (en haut), les coefficients d'ondelettes réels (deuxième en partant du haut), les coefficients d'ondelettes imaginaires, (deuxième en partant du bas), et le scalogramme d'ondelettes (amplitude des coefficients d'ondelettes, en bas), en fonction du temps et de la fréquence, en utilisant les échelles $f_s\times[1,2,\ldots,512]$. Les fréquences centrales résultantes auxquelles les coefficients sont tracés seront de $f_sf_C\times[1,2,\ldots,512]$.
\begin{figure} 
 \centerline{\includegraphics[width=5in]{cadillac_scalograms_fbsp5-1-5.jpeg}} % Made using model_multisignal_plot.py
  \caption{(De haut en bas) Élévation du niveau d'eau de la série chronologique du modèle Cadillac, partie réelle des coefficients d'ondelettes, partie imaginaire des coefficients d'ondelettes, amplitude des coefficients d'ondelettes. Spectres d'ondelettes calculés en utilisant l'ondelette de fréquence B-spline, avec $f_B = 1$, $f_C = 5$, et $M = 5$. \label{fig:model_wavelet_cadillac}} 
\end{figure}

Comme le montrent les transformées de Fourier de la figure~\ref{fig:fft_model_elev}, la plus forte contribution au signal se concentre autour de $f=1,9\,\mathrm{days}^{-1}$, c'est-à-dire les composantes semi-diurnes. Une contribution plus faible est visible autour de $f=3,8\,\mathrm{jours}^{-1}$, ce qui correspond à la composante $M_4$. Les deux contributions maintiennent des amplitudes presque constantes pendant toute la durée du signal. Pour analyser les détails plus fins du scalogramme, la figure~\ref{fig:model_wavelet_cadillac_zoom} fournit une vue agrandie sur $\approx 3\,\mathrm{jours}$.

\begin{figure} 
 \centerline{\includegraphics[width=5in]{cadillac_scalograms_fbsp5-1-5_zoom.jpeg}} % Made using model_multisignal_plot.py
  \caption{(De haut en bas) Élévation du niveau d'eau de la série chronologique du modèle Cadillac, partie réelle des coefficients d'ondelettes, partie imaginaire des coefficients d'ondelettes, amplitude des coefficients d'ondelettes. Spectres d'ondelettes calculés en utilisant l'ondelette de fréquence B-spline, avec $f_B = 1$, $f_C = 5$, et $M = 5$.  \label{fig:model_wavelet_cadillac_zoom}} 
\end{figure}
Les minima du signal correspondent aux changements de signe des coefficients des parties réelles le long de $f=1,9\,\mathrm{jours}^{-1}$, tandis que les maxima du signal correspondent aux changements de signe des coefficients des parties imaginaires le long de $f=1,9\,\mathrm{jours}^{-1}$.

\subsection{Incertitude dans l'espace fréquence-temps}
\begin{figure} 
 \centerline{\includegraphics[width=5in]{cadillac_scalograms_fbsp5-1-5_fbsp5-1-1.jpeg}} % Made using model_multisignal_plot.py
  \caption{(De haut en bas) Élévation du niveau d'eau de la série chronologique du modèle Cadillac, partie réelle des coefficients de l'ondelette utilisant la fréquence B-spline wavelet, avec $f_B = 1$, $f_C = 5$, et $M = 5$, et partie réelle des coefficients de l'ondelette utilisant la fréquence B-spline wavelet, avec $f_B = 1$, $f_C = 1$, et $M = 5$.  \label{fig:wavelet_uncertainty}} 
\end{figure}
Il existe un principe d'incertitude qui relie la fréquence et le temps dans l'analyse des ondelettes (voir \cite{mallat_wavelet_1999}). Une augmentation de la résolution en fréquence entraîne une diminution de la résolution temporelle, et vice versa. Le panneau central de la figure~\ref{fig:wavelet_uncertainty} présente la partie réelle des coefficients d'ondelettes en utilisant les paramètres des figures~\ref{fig:model_wavelet_cadillac} et \ref{fig:model_wavelet_cadillac_zoom}, tandis que le panneau inférieur utilise une ondelette de fréquence B-spline ($f_B = 1$, $f_C = 1$, et $M = 5$) qui est un espace de fréquence moins résolu. Les coefficients importants de l'ondelette du panneau inférieur sont concentrés aux mêmes fréquences que ceux du panneau central, mais il y a un frottement aux fréquences adjacentes. Cela souligne l'importance de choisir correctement une ondelette lors de l'analyse d'une série temporelle donnée, et que l'analyse des ondelettes peut rendre difficile la distinction des composantes d'un signal ayant des fréquences similaires (par exemple, les composantes de marée $M_2$ et $S_2$).


\section{\label{sec:wavelet_recon_filt} Reconstruction du signal et filtrage des ondelettes}
En utilisant la définition précédente pour les coefficients d'ondelettes, pour les ondelettes réelles, on peut recréer le signal original grâce à la formule
 \begin{equation}
  x(t) = \frac{1}{C_\psi}\iint  W\left(\lambda,t\right)\frac{1}{\sqrt{\lambda}}\psi\left(\frac{t-\tau}{\lambda}\right) \frac{d\lambda dt}{\lambda^2}
  \label{eq:wavelet_inv}
 \end{equation}
où 
\begin{equation}
 C_\psi = \int_0^\infty \frac{\left|\hat{\psi}(\omega)\right|^2}{\left|\omega\right|}d\omega
\end{equation}
est le coefficient de recevabilité. Pour les ondelettes analytiques, telles que l'ondelette de fréquence B-spline ou l'ondelette de Morlet complexe, la formule change légèrement, et il faut multiplier la partie réelle du côté droit de l'équation~(\ref{eq:ondelette_inv}) par $2$. Pour plus de détails, voir \cite{mallat_wavelet_1999}.
 
En outre, la CWT a une identité équivalente au théorème de Parseval pour la transformée de Fourier,
 \begin{equation}
  \int_{-\infty}^\infty \left|x(t)\right|^2 dt = \frac{1}{C_\psi}\int_0^\infty  \int_{-\infty}^\infty \left|W\left(\lambda,t\right)\right|^2  dt \frac{d\lambda}{\lambda^2}.
  \label{eq:wavelet_energy}
 \end{equation}
Par souci de commodité, le côté gauche de cette équation sera appelé énergie du signal, tandis que le côté droit sera appelé énergie du coefficient d'ondelette. L'équation~\ref{eq:wavelet_energy} peut être utilisée pour mesurer la qualité de la reconstruction d'une série temporelle par les coefficients d'ondelettes. En pratique, en raison des effets de bord, il est difficile pour l'énergie du coefficient d'ondelette de conserver l'énergie totale du signal. Les signaux qui contiennent principalement des composantes à haute fréquence conservent généralement plus d'énergie que les signaux composés de composantes à basse fréquence.

Par exemple, le calcul des coefficients d'ondelettes des données du modèle Cadillac (non illustré) en utilisant l'ondelette du chapeau mexicain
\begin{equation}
\psi(t) = \frac{2}{3^{1/2}\pi^{1/4}} e^{-\frac{t^2}{2}}\left(1-t^2\right),
 \label{eq:mexican_hat}
\end{equation}
l'énergie du coefficient d'ondelette est de 99,4\% de l'énergie du signal original. En reconstruisant le signal à partir de ces coefficients à l'aide de l'équation~(\ref{eq:wavelet_inv}), comme le montre la figure~\ref{fig:wavelet_recon_zoom}, seuls $83,3\%$ de l'énergie de la série temporelle originale sont récupérés. La reconstruction sous-estime les extrêmes et est moins fiable aux heures de début et de fin des données (non indiquées). 
L'une des raisons pour lesquelles les pics ne sont pas bien représentés pourrait être que le code CWT actuellement utilisé sous-résout l'ondelette autour des échelles d'échantillonnage, ce qui nécessite une étude plus approfondie.

\begin{figure}
 \centerline{\includegraphics[width=3.5in]{cadillac_model_mexh_wavelet_reconstruction_zoom.jpeg}}
 \caption{Vue agrandie sur $2$ jours du signal du modèle original de la Cadillac (bleu), et sa reconstruction à l'aide de l'ondelette du chapeau mexicain (orange). \label{fig:wavelet_recon_zoom}} 
\end{figure}
C'est un aspect pour lequel les autres méthodes d'analyse des séries chronologiques non linéaires et non stationnaires étudiées semblent avoir un avantage, car elles ont généralement donné de meilleurs résultats lors de la recréation des séries chronologiques originales.

Une application utile de cette reconstruction est que les coefficients des ondelettes peuvent être sélectionnés en fonction du temps et de l'échelle pour filtrer sélectivement les séries temporelles. La figure~\ref{fig:wavelet_recon_filter} reconstruit le signal Cadillac dans trois plages de fréquences différentes, avec des fréquences données en $\mathrm{jours}^{-1}$, avec une vue agrandie des composantes filtrées sur une période de 2 jours donnée dans la figure~\ref{fig:wavelet_recon_filter_zoom}.
\begin{figure}
 \centerline{\includegraphics[width=4in]{cadillac_model_mexh_wavelet_reconstruction_filter.jpeg}}
 \caption{(De haut en bas) Signal original du modèle Cadillac (rouge), et sa reconstruction filtrée dans les plages de fréquences $[0.3\,\mathrm{day}^{-1},3\,\mathrm{day}^{-1}]$, $(3\,\mathrm{day}^{-1},5\,\mathrm{day}^{-1}]$, and $(5\,\mathrm{day}^{-1},144\,\mathrm{day}^{-1}]$.
 \label{fig:wavelet_recon_filter}} 
\end{figure}
\begin{figure} 
 \centerline{\includegraphics[width=4in]{cadillac_model_mexh_wavelet_reconstruction_filter_zoom.jpeg}}
 \caption{(De haut en bas) Vue agrandie sur $2$ jours du signal du modèle original de la Cadillac (rouge), et sa reconstruction filtrée dans les gammes de fréquences $[0.3\,\mathrm{day}^{-1},3\,\mathrm{day}^{-1}]$, $(3\,\mathrm{day}^{-1},5\,\mathrm{day}^{-1}]$, $(5\,\mathrm{day}^{-1},10\,\mathrm{day}^{-1}]$, and $(10\,\mathrm{day}^{-1},144\,\mathrm{day}^{-1}]$.
 \label{fig:wavelet_recon_filter_zoom}} 
\end{figure}
Comme le suggèrent les coefficients d'ondelettes de la figure~\ref{fig:wavelet_fbsp5_1_1}, la contribution la plus importante se situe dans la fourchette de $0,3\,\mathrm{jour}^{-1}$ à $3\,\mathrm{jour}^{-1}$, ce qui donne une sinusoïde d'amplitude presque constante d'environ $1,5\,\mathrm{m}$, et d'une fréquence d'environ $2\,\mathrm{jour}^{-1}$. Alors que les maxima de ces composantes correspondent à peu près aux maxima du signal original, les minima de ces composantes se produisent environ $0,1\,\mathrm{jours}$ avant les minima du signal original. Les minima des autres composantes à haute fréquence correspondent tous beaucoup plus étroitement aux pointes aiguës du signal original. Les composantes à haute fréquence présentent des caractéristiques périodiques qui se répètent également avec une fréquence d'environ $2\,\mathrm{jour}^{-1}$, bien que des asymétries de fréquence plus élevées soient visibles dans les structures à plus longue période. Les maxima dans la gamme de $3\,\mathrm{jour}^{-1}$ à $5\,\mathrm{jour}^{-1}$ atteignent une valeur d'environ $0,525\,\mathrm{m}$, et se produisent juste avant les maxima du signal original. Les minima se produisent à peu près au même moment que les cuspides, atteignant une valeur d'environ $0,505\,\mathrm{m}$. Une deuxième paire d'extrema beaucoup plus faibles se produit après chaque maximum primaire, se produisant pendant la diminution du signal d'origine. Les composantes comprises entre $5$ et $10$ sont environ deux fois moins fortes que les composantes comprises entre $3$ et $5$, bien que la paire d'extrêmes qui se produit après les maxima primaires soit relativement plus forte. La fourchette de $10\,\mathrm{day}^{-1}$ à $144\,\mathrm{day}^{-1}$ montre la contribution la plus faible et est beaucoup plus intermittente que les autres composantes, avec des minima d'environ $-0,14\,\mathrm{m}$ qui se produisent juste avant les pointes aiguës du signal original. Cette composante reste proche de zéro après que le signal d'origine a atteint ses maxima et commence à diminuer.

Bien que le filtrage CWT offre une approche intéressante pour examiner la structure des différentes contributions de fréquence à un signal, il présente des limites. Comme mentionné lors de la discussion sur le calcul des coefficients d'ondelettes, si le signal a de multiples composantes de fréquences similaires, ou si l'ondelette d'analyse a une faible résolution d'échelle, il peut être difficile de séparer le signal en différentes composantes de fréquence. En outre, les effets de bord limitent la reconstruction du signal, en particulier pour les composantes à grande échelle (puisque le temps de repliement électronique augmente avec l'échelle, et donc la région à l'intérieur du cône d'influence augmente avec l'échelle). Il peut donc être prudent de prétraiter les données avant l'analyse des ondelettes pour éliminer les tendances à plus grande échelle, par exemple en utilisant une moyenne mobile.


\bibliographystyle{jfm}
\bibliography{MAREST_Library}



\end{document}
